08 基础课：用单摆测量重力加速度

实验原理

偏角很小时，单摆做简谐运动， $T = 2 π \sqrt{\frac{l}{g}}$ 。

测出周期、摆长即可计算得到当地的重力加速度 $g$ 。

实验器材

带铁夹的铁架台、中心有小孔的小钢球、不易伸长的细线（约 1m）、秒表、毫米刻度尺、游标卡尺。

小钢球、细线：用来制作单摆
秒表：测周期
刻度尺、游标卡尺：测摆线长和小球直径，确定摆长

实验步骤

1 做单摆

取约 1 m 长的细线穿过带孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把细线的另一端用铁夹固定（防止打滑）在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂。

2 测摆长

刻度尺测出摆线长度 $l^{'}$ ，精确到毫米
游标卡尺测出小球直径 $d$ ，算出半径 $r$ ，也精确到毫米
摆长 $l = l^{'} + r$

3 测周期

将单摆从平衡位置拉开一个角度 (小于 5°)，然后释放摆球。
摆球每次从同一方向通过平衡位置时进行计数，且在第一次通过平衡位置时数“0”的同时按下秒表，开始计时。
记下单摆做 30～50 次全振动的总时间，算出平均每一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。
反复测量三次，再算出测得周期的平均值。

4 改变摆长，重复做几次实验

5 数据处理

方法 1：公式法

将测得的几组周期 $T$ 和摆长 $l$ 代入公式 $g = \frac{4 π^{2} l}{T^{2}}$ 中算出重力加速度 $g$ 的值，再算出 $g$ 的平均值，即为当地重力加速度的值。

方法 2：图像法

由单摆的周期公式 $T = 2 π \sqrt{\frac{l}{g}}$ 可得 $l = \frac{g}{4 π^{2}} T^{2}$

因此以摆长 $l$ 为纵轴，以 $T^{2}$ 为横轴作出的 $l - T^{2}$ 图像是一条过原点的直线，如图所示，求出斜率 k，即可求出 g 值。

$g = 4 π^{2} k$

注意事项

选材料时要选细、轻、不易伸长的线，小球要选密度较大的球（降低空气阻力）
不能把绳子绕在铁架台上，要用铁夹固定（防止绳子滑动，产生较大误差）
注意摆线偏离竖直方向的最大夹角不得超过 5°（保证是简谐振动）
摆动时要保证小球在竖直平面内，不形成圆锥摆
计算单摆的摆动次数时，应从摆球通过平衡位置开始计，不能从最高点开始

公式法误差分析

$g = \frac{4 π^{2} l}{T^{2}}$

$l, T$ 均会影响 $g$ 。

不过原点（最常考）

原因：摆长 $l$ 没有取对，不是取的绳长 + 球半径。但是不影响斜率，对 $g$ 的计算无影响。

设绳长为 $L$ ，球半径为 $r$ ，摆长为 $l = L + r$

则 $T = 2 π \sqrt{\frac{L + r}{g}}$

$T^{2} = 4 π^{2} \frac{L + r}{g}$

$l = L + r = \frac{g}{4 π^{2}} T^{2}$

情况 1：把绳长当做摆长了。

周期测准了，但把绳长当做摆长了。

根据 $l = L + r = \frac{g}{4 π^{2}} T^{2}$ 描点画图时，画的点的横坐标是准确的，但是纵坐标比真实值小 $r$ ，所以图像下移，为上图中橙黄色的斜线。

情况 2：取绳长 +小球直径为摆长

根据 $l = L + r = \frac{g}{4 π^{2}} T^{2}$ 描点画图时，画的点的横坐标是准确的，但是纵坐标比真实值大 $r$ ，图像上移，为上图中红色的斜线。

斜率有偏差

原因：周期没测准。

分析方法：取任意一个 $l$ ，跟标准图线比 $T$ 。

对 𝒈 的计算有影响。

秒表读数方法

小表盘用来读分钟数，不用估读。

大表盘用来读秒数，不用估读。

小表盘前半分钟对应大表盘 0-30 的数值，小表盘后半分钟对应大表盘 30-60 的数值。

比如，图一读数为 3 分 7.6 秒，

图二读数为 5 分 37.5 秒。

例题

题 1

解

（1） $C D$

$T = 2 π \sqrt{\frac{l}{g}}$

$g = \frac{4 π^{2} l}{T^{2}}$

（2）A

$L = \frac{g}{4 π^{2}} T^{2}$

$k = \frac{g}{4 π^{2}}$

（3） $g = 4 π^{2} k$

题 2

TIP

注意横坐标、纵坐标代表的值！

解

（1）BC

（2）C

注意横坐标、纵坐标代表的值！

题 3

解

（1） $B$

$T = 2 π \sqrt{\frac{l}{g}}$

$g = \frac{4 π^{2} l}{T^{2}}$

（2）

$① 103.5 s$

$② 3, 4 π^{2} k, 2 b$

题 4

TIP

注意 $l$ 和 $T^{2}$ 谁是横轴谁是纵轴

解

（1）

99.8s

（2） $A$

（3）

O 点： $T_{1} = 2 π \sqrt{\frac{l + 0.3}{g}} = 1.5$

A 点： $T_{2} = 2 π \sqrt{\frac{l}{g}} = 1$

$\frac{l}{g} = \frac{1}{4 π^{2}}$

$\frac{l + 0.3}{g} = \frac{2.25}{4 π^{2}}$

所以 $\frac{l}{g} + \frac{0.3}{g} = \frac{2.25}{4 π^{2}}$

$\frac{1}{4 π^{2}} + \frac{0.3}{g} = \frac{2.25}{4 π^{2}}$

$\frac{0.3}{g} = \frac{1.25}{4 π^{2}}$

$g = \frac{1.2 π^{2}}{1.25}$

$\approx 9.47 m / s^{2}$

1.1 解不等式

1.1.1 基础不等式的解法

1.1.2 函数不等式的解法

1.2 基本不等式（均值不等式）

1.2.1 基础知识与简单应用

1.2.2 有等量关系的多元最值

1.2.3 缺少等量关系的多元最值

1.3 二次函数基础模型

1.3.1 二次恒成立

1.3.2 二次函数根的分布

1.4 数学必备常识与技巧

1.4.1 高考数学必备基础常识

1.4.2 选择填空通用应试技巧

1.5 复数

1.5.1 复数的概念与运算

2.1 函数的概念与表示

2.1.1 函数值域

2.2 函数的性质

2.2.1 单调性

2.2.2 奇偶性与对称性

2.2.3 周期性

2.2.4 性质综合应用

2.3 基本初等函数

2.3.1 指对幂函数

2.4 函数的应用

2.4.1 函数图像及变换

2.4.2 根与方程问题

3.1 导数的概念与意义

3.1.1 导数的基本概念

3.1.2 导数的几何意义

3.2 单调性问题

3.2.1 讨论单调区间

3.2.2 已知单调性求参数范围

3.3 极值最值问题

3.3.1 最值讨论与值域

3.3.2 双逻辑连接词下的函数问题

3.4 恒成立与存在性问题

3.4.1 已知恒成立或存在性求参数范围

3.4.2 已知参数范围证明恒成立

3.5 根与方程问题

3.5.1 根与零点问题

3.5.2 切线相关问题

3.5.3 双零点问题

3.5.4 极值点问题

4.1 三角函数的恒等变换

4.1.1 基础公式问题

4.1.2 字母型角度化简求值问题

4.1.3 综合问题

4.2 三角函数的图像

4.2.1 正弦型三角函数图像

4.2.2 三角函数的图像变换

4.2.3 三角函数图象的性质

4.3 解三角形

4.3.1 三角形中的基础公式问题

4.3.2 三角形中的代数求值问题

4.3.3 三角形中的几何问题

4.3.4 三角形中的范围与最值问题

5.1 向量基本问题

5.1.1 三大基本方法

6.1 等差与等比数列

6.1.1 等差数列

6.1.2 等比数列

6.2 求通项公式

6.2.1 通项公式与递推公式基础

6.2.2 项与项递推求通项

6.2.3 项与和递推求通项

7.1 空间几何体

7.1.1 基本问题

7.1.2 与球有关的问题

7.2 空间中的位置关系

7.2.1 位置关系选择填空

7.2.2 位置关系解答题

7.3 空间中的角度与距离

7.3.1 传统几何法解空间角度与距离

7.3.2 空间向量法解空间角度与距离

8.1 排列组合

8.1.1 计数原理

8.1.2 排列组合及常见计数模型

8.1.3 二项式定理

8.2 概率