08 基础课：用单摆测量重力加速度

实验原理

偏角很小时，单摆做简谐运动，$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$。

测出周期、摆长即可计算得到当地的重力加速度 $g$。

实验器材

带铁夹的铁架台、中心有小孔的小钢球、不易伸长的细线（约 1m）、秒表、毫米刻度尺、游标卡尺。

• 小钢球、细线：用来制作单摆
• 秒表：测周期
• 刻度尺、游标卡尺：测摆线长和小球直径，确定摆长

实验步骤

1 做单摆

取约 1 m 长的细线穿过带孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把细线的另一端用铁夹固定（防止打滑）在铁架台上，并把铁架台 放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂。

2 测摆长

• 刻度尺测出摆线长度 $l^{\prime }$，精确到毫米
• 游标卡尺测出小球直径 $d$，算出半径 $r$，也精确到毫米
• 摆长 $l=l^{\prime }+r$

3 测周期

• 将单摆从平衡位置拉开一个角度 (小于 5°)，然后释放摆球。
• 摆球每次从同一方向通过平衡位置时进行计数，且在第一次通过平衡位置时数“0”的同时按下秒表，开始计时。
• 记下单摆做 30～50 次全振动的总时间，算出平均每一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。
• 反复测量三次，再算出测得周期的平均值。

4 改变摆长，重复做几次实验

5 数据处理

方法 1：公式法

将测得的几组周期 $T$ 和摆长 $l$ 代入公式 $g=\frac{4{\pi }^{2}l}{T^2}$ 中算出重力加速度 $g$ 的值，再算出 $g$ 的平均值，即为当地重力加速度的值。

方法 2：图像法

由单摆的周期公式 $T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ 可得 $l=\frac{g}{4{\pi }^2}{T}^2$

因此以摆长 $l$ 为纵轴，以 $T^2$ 为横轴作出的 $l-T^2$ 图像是一条过原点的直线，如图所示，求出斜率 k，即可求出 g 值。

$g=4{\pi }^{2}k$

注意事项

1. 选材料时要选细、轻、不易伸长的线，小球要选密度较大的球（降低空气阻力）
2. 不能把绳子绕在铁架台上，要用铁夹固定（防止绳子滑动，产生较大误差）
3. 注意摆线偏离竖直方向的最大夹角不得超过 5°（保证是简谐振动）
4. 摆动时要保证小球在竖直平面内，不形成圆锥摆
5. 计算单摆的摆动次数时，应从摆球通过平衡位置开始计，不能从最高点开始

公式法误差分析

$g=\frac{4{\pi }^{2}l}{T^2}$

$l,T$ 均会影响 $g$。

不过原点（最常考）

原因：摆长 $l$ 没有取对，不是取的绳长 + 球半径。但是不影响斜率，对 $g$ 的计算无影响。

设绳长为 $L$，球半径为 $r$，摆长为 $l=L+r$

则 $T=2\pi \sqrt{\frac{L+r}{g}}$

$T^2=4{\pi }^2\frac{L+r}{g}$

$l=L+r=\frac{g}{4{\pi }^2}{T}^2$

情况 1：把绳长当做摆长了。

周期测准了，但把绳长当做摆长了。

根据 $l=L+r=\frac{g}{4{\pi }^2}{T}^2$ 描点画图时，画的点的横坐标是准确的，但是纵坐标比真实值小 $r$，所以图像下移，为上图中橙黄色的斜线。

情况 2：取绳长 +小球直径为摆长

根据 $l=L+r=\frac{g}{4{\pi }^2}{T}^2$ 描点画图时，画的点的横坐标是准确的，但是纵坐标比真实值大 $r$，图像上移，为上图中红色的斜线。

斜率有偏差

原因：周期没测准。

分析方法：取任意一个 $l$，跟标准图线比 $T$。

对 𝒈 的计算有影响。

秒表读数方法

小表盘用来读分钟数，不用估读。

大表盘用来读秒数，不用估读。

小表盘前半分钟对应大表盘 0-30 的数值，小表盘后半分钟对应大表盘 30-60 的数值。

比如，图一读数为 3 分 7.6 秒，

图二读数为 5 分 37.5 秒。

例题

题 1

解

（1）$CD$

$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

$g=\frac{4{\pi }^{2}l}{T^2}$

（2）A

$L=\frac{g}{4{\pi }^2}{T}^2$

$k=\frac{g}{4{\pi }^2}$

（3）$g=4{\pi }^{2}k$

题 2

TIP

注意横坐标、纵坐标代表的值！

解

（1）BC

（2）C

注意横坐标、纵坐标代表的值！

题 3

解

（1）$B$

$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

$g=\frac{4{\pi }^{2}l}{T^2}$

（2）

$\mathrm{①}103.5s$

$\mathrm{②}3,4{\pi }^{2}k,2b$

题 4

TIP

注意 $l$ 和 $T^2$ 谁是横轴谁是纵轴

解

（1）

99.8s

（2）$A$

（3）

O 点：$T_1=2\pi \sqrt{\frac{l+0.3}{g}}=1.5$

A 点：$T_2=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}=1$

$\frac{l}{g}=\frac{1}{4{\pi }^2}$

$\frac{l+0.3}{g}=\frac{2.25}{4{\pi }^2}$

所以 $\frac{l}{g}+\frac{0.3}{g}=\frac{2.25}{4{\pi }^2}$

$\frac{1}{4{\pi }^2}+\frac{0.3}{g}=\frac{2.25}{4{\pi }^2}$

$\frac{0.3}{g}=\frac{1.25}{4{\pi }^2}$

$g=\frac{1.2{\pi }^2}{1.25}$

$\approx 9.47m/s^2$