03 正余弦定理使用策略

什么时候使用正弦，什么时候用余弦？

正弦

正弦定理反映的是边与 sin 的关系。

什么时候使用正弦？

$\{\begin{array}{l}\mathrm{当}\mathrm{题}\mathrm{目}\mathrm{中}\mathrm{有}sinA\mathrm{时}（\mathrm{比}\mathrm{较}\mathrm{肤}\mathrm{浅}）\\ \mathrm{题}\mathrm{目}\mathrm{中}\mathrm{涉}\mathrm{及}\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{角}\mathrm{与}\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{边}\mathrm{的}\mathrm{关}\mathrm{系}\mathrm{时}(\mathrm{可}\mathrm{能}\mathrm{三}\mathrm{个}\mathrm{已}\mathrm{知}，\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{未}\mathrm{知})\\ \mathrm{需}\mathrm{要}\mathrm{运}\mathrm{用}\mathrm{边}\mathrm{角}\mathrm{互}\mathrm{换}\mathrm{时}，\mathrm{要}\mathrm{用}\mathrm{正}\mathrm{弦}\mathrm{定}\mathrm{理}\end{array}$

边角互换

假设题目中告诉 $2sinA=sinB+sinC$，那么我们可以说 $2a=b+c$。因为我们有 $sinA=\frac{a}{2R}$，带入这个式子，化简可以的 $2a=b+c$。

同理，我们已知三个边的关系，可以将它们转为角的关系。

经验：角转换为边，下一步往往要使用余弦定理；边转换为角，下一步往往要使用角的诱导公式、和与差公式。

余弦

什么时候用余弦？

$\{\begin{array}{l}\mathrm{当}\mathrm{题}\mathrm{目}\mathrm{出}\mathrm{现}cos\theta \\ \mathrm{当}\mathrm{题}\mathrm{目}\mathrm{出}\mathrm{现}\mathrm{三}\mathrm{边}\mathrm{和}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{角}\mathrm{的}\mathrm{关}\mathrm{系}\\ \mathrm{题}\mathrm{目}\mathrm{中}\mathrm{出}\mathrm{现}\mathrm{了}\mathrm{平}\mathrm{方}\mathrm{关}\mathrm{系}{b}^2+c^2-a^2\end{array}$

例题

例题 1

TIP

使用正弦定理（边角互换）。

在 $\mathrm{△}ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，已知 $(sinB-sinC{)}^2=si{n}^{2}A-sinBsinC,a=2\sqrt{3},b=2$，则 $\mathrm{△}ABC$ 的面积为（）。

解：

$si{n}^B-2sinB\cdot sinC+si{n}^C=si{n}^A-sinB\cdot sinC$

$b^2-2bc+c^2=a^2-bc$

$b^2+c^2-a^2=bc$

$\because cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{1}{2}$

$\therefore A=\frac{\pi }{3}$

$S_{\mathrm{△}}=\frac{1}{2}\cdot ab\cdot sinA$

$\frac{1}{2}\times 2\sqrt{3}\times 2\times \frac{\sqrt{3}}{2}$

$=3$

例题 2

已知 $\mathrm{△}ABC$ 的内角 $A,B,C$ 分别所对的边分别是 $a,b,c$，且 $b=2,b^2+c^2-a^2=bc$，若 $BC$ 边上的中线 $AD=\sqrt{7}$，则 $\mathrm{△}ABC$ 的外接圆面积为（）。

$A.4\pi$

$B.7\pi$

$C.12\pi$

$D.16\pi$

解：

$\mathrm{\angle }A$ 很好求。

$cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{1}{2}$

$\therefore A=\frac{\pi }{3}$

接下来，要求 $\mathrm{△}ABC$ 的外接圆面积，就是求 $R$。

而 $2R=\frac{a}{sinA}$，所以我们要求边 $a$。

TIP

接下来该怎么建立方程呢？因为我们知道很多边，而使用余弦定义，因为两个角是互补的，刚好分母可以约掉。所以可以尝试用用。

但是注意解三角形时不能死板，如果实在没思路，那么正弦定理余弦定理都试试。

$cos\theta =\frac{7+\frac{a^2}{4}-c^2}{2\sqrt{7}\cdot \frac{a}{2}}$

$cos(\pi -\theta )=-cos\theta =\frac{7+\frac{a^2}{4}-4}{2\sqrt{7}\cdot \frac{a}{2}}$

$\frac{7+\frac{a^2}{4}-c^2}{2\sqrt{7}\cdot \frac{a}{2}}=-\frac{7+\frac{a^2}{4}-4}{2\sqrt{7}\cdot \frac{a}{2}}$

$7+\frac{a^2}{4}-c^2=-7-\frac{a^2}{4}+4$

$\frac{a^2}{2}-c^2+10=0$

$a^2=2c^2-20$

又因为 $cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{1}{2}=\frac{4+c^2-a^2}{4c}$

$\therefore 2c=4+c^2-2c^2+20$

$c^2+2c-24=0$

使用十字相乘法得 $c=4\mathrm{或}-6(\mathrm{舍}\mathrm{去})$

$\therefore a^2=2\times 16-20=12$

$a=\sqrt{12}$

$2R=\frac{\sqrt{1}2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$R=2$

所以面积为 $4\pi$，答案选 $A$。

TIP

如果题目的条件为角平分线，而不是中线，那么可能使用正弦定理简单一点。