02 余弦定理

说说

余弦定理

$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot cosC$

余弦定理的推论

$cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$，

这个公式反映的是三角形的三个边与一个夹角的关系。

证明

$\overrightarrow{c}=-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$

两边同时平分，得

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \theta$

例题 1

$\mathrm{△}ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ ，若 $\mathrm{△}ABC$ 的面积为 $\frac{a^2-b^2-c^2}{4}$，则 $A=$____.

解：

$\frac{a^2-b^2-c^2}{4}=-\frac{1}{4}\cdot (b^2+c^2-a^2)=-\frac{1}{4}\cdot 2bc\cdot cosA=\frac{1}{2}bcsinA$

$-cosA=sinA$

$tanA=-1$

$\therefore A=\frac{3}{4}\pi$