难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题比值换元

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知 $f(x)=ax+\frac{b}{x}+c-lnx$，其中 $a,b,c\in R$.

（1）若 $b=c=0$，讨论 $f(x)$ 的单调性；

（2）已知 $x_1,x_2$ 是 $f(x)$ 的两个零点，且 $x_1<x_2$，证明：$x_2(a{x}_1-1)<b<x_1(a{x}_2-1)$

解

（1）

若 $b=c=0$

则 $f(x)=ax-lnx,x>0$

$f^{\prime }(x)=a-\frac{1}{x}=\frac{ax-1}{x}$

一、若 $a<0$

$0<x<\frac{1}{a},f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

$x>\frac{1}{a},f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow$

二、若 $a=0$

$f^{\prime }(x)<0$ 在 $(0,+\mathrm{\infty })$ $f(x)\downarrow$

三、若 $a>0$

$0<x<\frac{1}{a},f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow$

$x>\frac{1}{a},f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

（2）

$a{x}_1+\frac{b}{x_1}+c-ln{x}_1=0\mathrm{①}$

$a{x}_2+\frac{b}{x_2}+c-ln{x}_2=0\mathrm{②}$

$\mathrm{①}-\mathrm{②}$，得

$a(x_1-x_2)+\frac{b}{x_1}-\frac{b}{x_2}+ln\frac{x_2}{x_1}=0$

$a(x_1-x_2)+\frac{(x_2-x_1)b}{x_1{x}_2}+ln\frac{x_2}{x_1}=0$

$(x_2-x_1)(\frac{b}{x_1{x}_2}-a)+ln\frac{x_2}{x_1}=0$

要证 $x_2(a{x}_1-1)<b$

即证

$a{x}_1-1<\frac{b}{x_2}$

$a-\frac{1}{x_1}<\frac{b}{x_1{x}_2}$

$\frac{b}{x_1{x}_2}-a>-\frac{1}{x_1}$

$-\frac{ln\frac{x_2}{x_1}}{x_2-x_1}>-\frac{1}{x_1}$

$ln\frac{x_2}{x_1}<\frac{x_2}{x_1}-1$

令 $\frac{x_2}{x_1}=t,t>1$

即证 $lnt<t-1,t>1$

令 $h(t)=lnt-t+1$

$h^{\prime }(t)=\frac{1}{t}-1=\frac{1-t}{t}<0$

所以 $h(t)\downarrow ,h(t)<h(1)=0$

所以 $x_2(a{x}_1-1)<b$

同理，证 $b<x_1(a{x}_2-1)$

即证 $\frac{b}{x_1}<a{x}_2-1$

$\frac{b}{x_1{x}_2}<a-\frac{1}{x_2}$

$\frac{b}{x_1{x}_2}-a<-\frac{1}{x_2}$

$-\frac{ln\frac{x_2}{x_1}}{x_2-x_1}<-\frac{1}{x_2}$

$ln\frac{x_2}{x_1}>1-\frac{x_1}{x_2}$

$lnt+\frac{1}{t}-1>0$

令 $\phi (t)=lnt+\frac{1}{t}-1$

${\phi }^{\prime }(t)=\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}=\frac{t-1}{t^2}>0$

所以 $\phi (t)\uparrow ,\phi (t)>\phi (1)=0$

所以 $b<x_1(a{x}_2-1)$

证毕。