难度： 困难

标签： 圆锥曲线抛物线最值范围问题双曲线

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}-y^2=0\\ y=k(x-1)+1\end{array}$

$y=k(x-1)+1=kx-k+1$

$m=-k+1,y=kx+m$

$x^2-2(kx+m{)}^2=0$

$(1-2k^2)x^2-4kmx-2m^2=0$

$x_1+x_2=\frac{4km}{1-2k^2}$

$y_1+y_2=k(x_1+x_2)+2m=\frac{4k^{2}m}{1-2k^2}+2m=\frac{2m}{1-2k^2}$

$\frac{2km}{1-2k^2}=1,\frac{m}{1-2k^2}=1$

$2k=1$

$k=\frac{1}{2}$

解（2）

$A(x_3,y_3),B(x_4,y_4)$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}-y^2=1\\ y=kx+m\end{array}$

$(1-2k^2)x^2-4kmx-2m^2-2=0$

$d=|m|\sqrt{1+k^2}$

$|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_3-x_4|$

$=\sqrt{1+k^2}\frac{\sqrt{4\times 2\times (-1)\times (2k^2-1-m^2)}}{2k^2-1}$

$=\sqrt{1+k^2}\frac{\sqrt{m^2+1-2k^2}}{2k^2-1}$

$=\sqrt{1+k^2}\frac{2\sqrt{2}\sqrt{2-2k-k^2}}{2k^2-1}$

$|MN|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|$

$=\sqrt{1+k^2}\frac{\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{|a|}$

$=\sqrt{1+k^2}\frac{\sqrt{8m^2}}{|1-2k^2|}$

$S_{\mathrm{△}OBN}=\frac{1}{2}(S_{OAB}-S_{OMN})$

$=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}|AB|d-\frac{1}{2}|MN|d)$

$=\frac{1}{4}d(|AB|-|MN|)$

$=\frac{1}{4}\frac{|m|}{\sqrt{1+k^2}}(2\sqrt{2}\sqrt{1+k^2}\frac{\sqrt{2-2k-k^2}}{|1-2k^2|}-\sqrt{1+k^2}\frac{\sqrt{8m^2}}{1-2k^2})$

$=\frac{1}{4}\frac{m}{\sqrt{k^2+1}}\frac{2\sqrt{2}\sqrt{k^2+1}}{1-2k^2}[\sqrt{2-2k-k^2}-(1-k)]$

$=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1-k}{1-2k^2}[\sqrt{2-2k-k^2}-(1-k)]$

$=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{(1-k)[2-2k-k^2-(1-2k+k^2)]}{(1-2k^2)[\sqrt{2-2k-k^2}+(1-k)]}$

$=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{(1-k)}{\sqrt{2-2k-k^2}+1-k}$

$=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{\sqrt{\frac{2-2k-k^2}{(1-k{)}^2}}+1}$

令 $1-k=t,t\in (1-\frac{\sqrt{2}}{2},1)$

$S=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{\sqrt{\frac{-t^2+4t-1}{t^2}}+1}$

$=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{\sqrt{-1+\frac{4}{t}-\frac{1}{t^2}}+1}$

令 $f(t)=-\frac{1}{t^2}+\frac{4}{t}-1$

令 $m=\frac{1}{t},m\in (1,\frac{2}{2-\sqrt{2}})$

$f(m)=-m^2+4m-1$

当 $m=2$ 时，$f(m{)}_{max}=f(2)=3$

$S_{min}=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{\sqrt{3}+1}$

$=\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{3}-1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{4}$

TIP

结论：一条直线交双曲线、双曲线的渐进线于 4 个点 A、B、C、D（按从左到右顺序），那么 AD 的中点 = BC 的中点。

即双曲线交点和渐近线交点共中点。

TIP

如果算的是 $\mathrm{△}OAB$ 面积，可以直接根据 $\frac{1}{2}|m||x_1-x_2|$ 或 $\frac{1}{2}|n||y_1-y_2|$ 快速求得面积。

而不是根据 $\frac{1}{2}|AB||d|$，这种稍微麻烦一点。

TIP

最后一步，需要一点点计算技巧。