洛必达法则

定义

当 x 趋近于某一个值 a 时，如果一个分式的极限值不好求，我们可以将分子分母求导，形成一个新的分式，那么新分式的极限值和原来的分式极限值是相等的。

$\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

例如 $\underset{x\to 0}{lim}=\frac{sinx}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{cosx}{1}=1$

注意点

1. 只有 $\frac{0}{0}$ 型或 $\frac{\pm \mathrm{\infty }}{\pm \mathrm{\infty }}$ 型或 $0\cdot \mathrm{\infty }$ 型（可以转化为 $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ 才能用洛必达法则。

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}xlnx=\underset{x\to 0}{lim}\frac{lnx}{\frac{1}{x}}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\underset{x\to 0}{lim}(-1)=0$

比如 $\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{lim}\frac{1+sinx}{1-cosx}\ne \underset{x\to \frac{\pi }{2}}{lim}\frac{cosx}{sinx}\ne 0$

正确答案是 $\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{lim}=\frac{2}{1}=2$

2. $f(x),g(x)$ 在 $x_0$ 去心领域内可导，且 $g^{\prime }(x)\ne 0$（一般都是可以导的）

3. 可以连续洛必达

$\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=\{\begin{array}{l}a(\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{求}\mathrm{出}\mathrm{极}\mathrm{限})\\ x(\mathrm{虽}\mathrm{然}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{有}\mathrm{极}\mathrm{限}，\mathrm{但}\mathrm{使}\mathrm{用}\mathrm{洛}\mathrm{必}\mathrm{达}\mathrm{也}\mathrm{求}\mathrm{不}\mathrm{出}\mathrm{极}\mathrm{限})\\ \frac{0}{0}\mathrm{或}\frac{\mathrm{\infty }}{infty}，\mathrm{接}\mathrm{着}\mathrm{洛}\mathrm{必}\mathrm{达}\end{array}$

比如 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+cosx}{x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1+sinx}{1}$，求不出来极限。

但可以这样求出极限：$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+cosx}{x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{x}+\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{cosx}{x}=1$

用途

1. 选择题中判断图像的走势。

2. $\frac{(f(x)}{g(x){)}_{max}⩽a}$（题目会让分母等于 0，这时候就可以使用洛必达，算出极限值）