01_初等函数

指数与指数幂的运算法则

• 规定一

$\{\begin{array}{l}{a}^r\cdot a^s=a^{r+s}\\ (a^r{)}^s=a^{rs}\\ (a\times b{)}^r=a^r\cdot b^r\end{array}(\mathrm{其}\mathrm{中}a,b>0,r,s\in R)$

• 规定二

规定 $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m},(a>0,m,n\in N^{\ast },n>1).$

当 $m=1$ 时，$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$.

$\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}},\sqrt[3]{a}=a^{\frac{1}{3}}$

• 规定三

规定 $a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}.$

$a^{-\frac{4}{5}}=\frac{1}{a^{\frac{4}{5}}}=\frac{1}{\sqrt[5]{a^4}}$

幂函数

• 定义

形如 $y=x^{\alpha }$ 的函数称之为幂函数。而像 $y=2x^2,y=x^2+1$ 等有点像幂函数的函数，都不是幂函数。

幂的含义

“幂（power）”含义是一个数字经过若干次与自己相乘所得的结果。比如 $5^2$ 代表 $5\times 5$。

• 结论

当 $a<0$ 时，为倒函数。

当 $0<a<1$ 时，比如 $y=x^{\frac{1}{2}}$，在 $(0,1)$ 间 $y=x^{\frac{1}{2}}$ 比 $y=x$ 大。

当 $a>1$ 时，比如 $y=x^2$，在 $(0,1)$ 间 $y=x^2$ 比 $y=x$ 小。

• a 为 1

$y=x$

• a 为 2

$y=x^2$

• a 为 3

$y=x^3$

• a 为 1/2

$y=x^{\frac{1}{2}}$

• a 为 -1

$y=x^{-1}$

例题 1

下列函数中既是偶函数又是 $(-\mathrm{\infty },0)$ 上是增函数的是（）

$A.y=x^{\frac{4}{3}}$

$B.y=x^{\frac{3}{2}}$

$C.y=x^{-2}$

$D.y=x^{-\frac{1}{4}}$

例题 2

下列命题中正确的是（）

$A.\mathrm{当}\alpha =0\mathrm{时}\mathrm{函}\mathrm{数}y=x^{\alpha }\mathrm{的}\mathrm{图}\mathrm{像}\mathrm{是}\mathrm{一}\mathrm{条}\mathrm{直}\mathrm{线}$

$B.\mathrm{幂}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{图}\mathrm{像}\mathrm{都}\mathrm{经}\mathrm{过}(0,0)\mathrm{和}(1,1)\mathrm{点}$

$C.\mathrm{若}\mathrm{幂}\mathrm{函}\mathrm{数}y=x^{\alpha }\mathrm{是}\mathrm{奇}\mathrm{函}\mathrm{数}，\mathrm{则}y=x^{\alpha }\mathrm{是}\mathrm{定}\mathrm{义}\mathrm{域}\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{增}\mathrm{函}\mathrm{数}$

$D.\mathrm{幂}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{图}\mathrm{像}\mathrm{不}\mathrm{可}\mathrm{能}\mathrm{出}\mathrm{现}\mathrm{在}\mathrm{第}\mathrm{四}\mathrm{象}\mathrm{限}$

Details

解：

$A.$ $0^0$ 是没有意义的，所以不可能是一条直线。

$B.y=\frac{1}{x}\mathrm{不}\mathrm{经}\mathrm{过}(0,0)$

$C.y=\frac{1}{x}\mathrm{不}\mathrm{是}$

$D.\mathrm{对}$

指数函数

• 定义

$y=a^x,(a>0\mathrm{且}a\ne 1)$ 称为指数函数。

• 图像

• 当 a > 1

例如 $y=2^x$.

• 当 0 < a < 1

例如 $y=(\frac{1}{2}{)}^x$.

例题

若函数 $f(x)=(k+3)a^x+3-b(a>0,\mathrm{且}a\ne 1)$ 是指数函数，

（1）求 k，b 的值；

（2）求不解式 $f(2x-7)>f(4x-3)$

对数

对 $a^x=N(a>0\mathrm{且}a\ne 1)$，我们就说 $x={\log }_{a}N$

运算法则

$\mathrm{有}{a}^m\cdot a^n=a^{m+n}$

$\mathrm{令}M=a^m，\mathrm{则}m={\log }_{a}M$

$\mathrm{令}N=a^n,\mathrm{则}n={\log }_{a}N$

$\therefore a^{m+n}=a^m\cdot a^n=M\cdot N$

$\therefore m+n={\log }_{a}M+{\log }_{a}N={\log }_a(M\cdot N)$

由此我们还可以推出的公式：

$\{\begin{array}{l}{\log }_{a}M+{\log }_{a}N={\log }_a(M\cdot N)\\ {\log }_{a}M-{\log }_{a}N={\log }_a\frac{(M}{N)}\\ {\log }_a{b}^x=x{\log }_{a}b\end{array}$

换底公式

${\log }_{a}b=x⟺a^x=b$

${\log }_c{a}^x={\log }_{c}b,(c>0\mathrm{且}c\ne 1)$

$x{\log }_{c}a={\log }_{c}b$

所以

$\therefore x=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}={\log }_{a}b,(a\ne 1)$

进而推出一个很重要的公式

$\mathrm{令}c=b，\mathrm{则}\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}=\frac{{\log }_{b}b}{{\log }_{b}a}=\frac{1}{{\log }_{b}a}={\log }_{a}b$

真数的指数和底数的指数往前提法则

${\log }_{a^x}{b}^y=y{\log }_{a^x}b=y\cdot \frac{1}{{\log }_b{a}^x}=\frac{y}{x}\cdot {\log }_{a}b$

图像与性质

$y={\log }_{a}x(a>0\mathrm{且}a\ne 1,x\in (0,+\mathrm{\infty }))$

• a > 1 时

比如 $y={\log }_{2}x$

• a < 1 时

比如 $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$

例题 1

若函数 $y={\log }_{2}k{x}^2+4kx+5$的定义域为 $R$，则 $k$ 的取值范围（）

解：

例题 2

已知 $a=2^{1.1},b={\log }_{2}3,c=3^{{\log }_3\frac{3}{2}}$，则 $a,b,c$ 的大小关系为（）

比大小例题

例题 1

已知 $a={\log }_{2}0.2,b=2^{0.2},c={0.2}^{0.3}$，则它们的大小关系为 ()

例题 2

已知 $a=3^{0.2},b={\log }_{6}4,c={\log }_{3}2，\mathrm{则}a,b,c$的大小关系为（）

例题 3

已知 $f(x)$ 是奇函数，且当 $x<0$ 时，$f(x)=-e^{ax}.\mathrm{若}f(\ln 2)=8,$则 a=_______.

例题 4

例题 1

已知 $a={\log }_{2}e,b=\ln 2,c={\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3}$，则 $a,b,c$ 的大小关系为（）

解：

$a={\log }_{2}e>1$

$0<b=\ln 2<1$

$c={\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3}={\log }_{2}3>1$

例题 2

已知 $a=3^{0.2},b={\log }_{6}4,c={\log }_{3}2$，则 $a,b,c$ 的大小关系为（）

解：

$a=3^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{3}>1$

$0<b={\log }_{6}4<1$

$0<c={\log }_{3}2<1$

又

$b={\log }_{6}4=2{\log }_{6}2=2\cdot \frac{1}{{\log }_{2}6}=\frac{1}{{\log }_2\sqrt{6}}$

$c={\log }_{3}2=\frac{1}{{\log }_{2}3}<\frac{1}{{\log }_2\sqrt{6}}$

例题 3

已知实数 $a,b,c$ 满足 $2^a={\log }_{\frac{1}{2}}a$，${(\frac{1}{2})}^b={\log }_{\frac{1}{2}}b$ ,$(\frac{1}{2}{)}^c={\log }_{2}c$

，这三个数从小到大排列为 _____

解：

$a<b<c$

例题 4

设 $a=\lg e,b=(\lg e{)}^2,c=\lg \sqrt{e}$，其中$e$ 为自然对数的底数，则（）

复合函数解析式与单调性

求 ${\log }_{\frac{1}{2}}{x}^2-2x-3$ 的单调性。

解：

由内到外，先求 $x^2-2x-3$ 的单调性。

$x^2-2x-3=(x-3)(x+1)>0$

$\therefore x\in (-\mathrm{\infty },-1)\bigcup (3,+\mathrm{\infty })$

然后求 ${\log }_{\frac{1}{2}}t$ 的单调性。

例题

例题 1

解方程 ${\log }_{x+2}(4x+5)-{\log }_{4x+5}(x^2+4x+4)-1=0$

解：

$\{\begin{array}{l}x>-2\\ x>-\frac{5}{4}\\ x\ne -1\end{array}$

后面再用换底公式变形即可求解。

初等函数图像解析

例题 1

已知 $m\in N$，函数 $f(x)=x^{3m-7}$关于 $y$ 轴对称且在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 上单调递减，则 m=()

解：

1

例题 2

已知函数 $f(x)=\ln (|x|+1)+\sqrt{x^2+1}$，则使得 $f(x)>f(2x-1)$ 的 $x$ 的取值范围是（）

Details

TIP

运用函数的单调性、奇偶性求解。