01 圆周运动

什么是圆周运动？

圆周运动的线速度、角速度

线速度

意为做圆周运动物体的瞬时速度

大小：$v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t},\mathrm{\Delta }t\to 0$（$\mathrm{\Delta }s$ 为路程）

如果做的是匀速圆周运动，那么 $v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$，不需要 $\mathrm{\Delta }t\to 0$

方向：沿着圆周上各点的切线方向。

角速度

单位时间内物体转过的角度，与圆周运动的半径 $r$ 无关。

$\omega =\frac{\mathrm{\Delta }\theta }{\mathrm{\Delta }t}$（注意 $\mathrm{\Delta }\theta$ 用的是弧度制）

方向：高中阶段角速度无方向。

角速度与线速度的关系

推导：

$\mathrm{\Delta }t\to 0$

$v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$

$\omega =\frac{\mathrm{\Delta }\theta }{\mathrm{\Delta }t}$

$\mathrm{\Delta }s$ 和 $\mathrm{\Delta }\theta$ 各自与完整一周的 $\mathrm{\Delta }s$ 和 $\mathrm{\Delta }\theta$ 的比值相同，有

$\frac{\mathrm{\Delta }s}{2\pi r}=\frac{\mathrm{\Delta }\theta }{2\pi }$

$\mathrm{\Delta }s=r\cdot \mathrm{\Delta }\theta$

所以线速度 $v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{r\cdot \mathrm{\Delta }\theta }{\mathrm{\Delta }t}$

$\mathrm{\Delta }\theta =\frac{v\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}$

所以

$\{\begin{array}{l}\omega =\frac{v}{r}\\ v=\omega r\end{array}$

匀速圆周运动

线速度大小/角速度不变的圆周运动。

“匀速”指的是匀速率。

周期、频率、转速

这三个词仅出现在匀速圆周运动里（或转一圈时间固定的圆周运动）。

1. 周期 T：转一圈的时间（单位 $s$）
2. 频率 f：1s 转的圈数（单位 $Hz$）
3. 转速 n：单位时间内转的圈数（单位有 $r/s,r/min/r/h$，单位时间取 1s 时，频率 = 转速）

TIP

角速度是连接 T、n、f 的桥梁！要求他们先求角速度

各个物理量之间的关系

𝝎、T、f、n 关系：

$f=n=\frac{1}{T}$

$\omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi n=2\pi f=\frac{v}{r}$

注意

以上式子里 n 均取 1s 为单位时间。

题型特征

考察圆周运动各个物理量之间的关系

例题

题 1

解

$v=\frac{2r\pi \cdot \frac{1}{2}}{2\times 60}=\frac{120\pi }{120}=\pi$

$D$

题 2

解

$\omega =\frac{2\pi }{60}=\frac{\pi }{30}$

题 3

解

$v=\omega r=1$

$A$

题 4

解

$\omega =2\pi n^{\prime }=2\pi \frac{n}{t}$

$B$

题 5

解

$\omega =\frac{2\pi }{T}=2$

$B$

题 6

解

$\omega =\frac{v}{r}=\frac{3}{1.5}=2$

$T=\frac{2\pi }{\omega }=\pi$

$f=\frac{\omega }{2\pi }=\frac{1}{\pi }$

题 7

解

${\omega }_{\mathrm{甲}}=\frac{\pi }{3t}=4\omega$

${\omega }_{\mathrm{乙}}=\frac{\pi }{4t}=3\omega$

$v_{\mathrm{甲}}=4\omega 2=8\omega$

$v_{\mathrm{乙}}=3\omega$

$T=\frac{2\pi }{\omega }$

$T_{\mathrm{甲}}=\frac{1}{4}$

$T_{\mathrm{乙}}=\frac{1}{3}$

$T_{\mathrm{甲}}：T_{\mathrm{乙}}=3:4$

B 对。

$f=\frac{\omega }{2\pi }$

C、D 都应该是 $4:3$

$B$