易错，疑难题及总结

疑问

0 次，1 次，2 次，3 次指什么？

常数为 0 次；

$x,y$ 这种未知数为 1 次；

$x^2,y^2$ 为 2 次；

$x^3,y^3$ 为 3 次；

以此类推。

放缩技巧

加减放缩

$2-a<2(a>0)\mathrm{或}2+a>2(a>0)$

指数放缩

$e^x>x>lnx$

$e^x\ge x+1,x\ge 0$

平方放缩

$n(n-1)<n^2<n(n+1),n>0$

$n(n-1)>n^2>n(n+1),n<0$

根式放缩

$2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}<\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$

等等。。。

不等式相关

不知道等式也会有限制定义域

若实数 $x,y,z⩾0$，且 $x+y+z=4,2x-y+z=5$，则 $M=4x+3y+5z$ 的取值范围是____.

解：

易错答案：

$\{\begin{array}{l}x+y+z=4\\ 2x-y+z=5\end{array}$ 推出 $\{\begin{array}{l}3x+2x=9\\ x-2y=1\end{array}$

即

$\{\begin{array}{l}\frac{15}{2}x+5z=\frac{45}{2}\\ \frac{3}{2}x-3y=\frac{3}{2}x-2y=1\end{array}$

所以 $M=-2x+21,x\in [0,+\mathrm{\infty })$

所以 $M\in (-\mathrm{\infty },21)$

这么做难道你不晓得 x 的定义域并不是 $[0,+\mathrm{\infty })$ 吗？它的定义域还有其它限制呀。

正确答案：

$x+y+z=4⟹x=4-(y+z),x\in [0,4]$

$3x+2z=9⟹x=3-\frac{2}{3}z\in [0,3]$

$x-2y=1⟹x=1+2y\in [1,\mathrm{\infty }]$

综上，$x\in [1,3]$

$M=-2x+21$

$M\in [15,19]$

集合相关

使用特殊值法，选择题没有试完

设 $I$ 为全集，$S_1,S_2,S_3$ 是 $I$ 的三个非空子集且 $S_1\bigcup S_2\bigcup S_3=I$，则下面论断正确的是（）

$A.{\complement }_I{S}_1\cap (S_1\bigcup S_3)=\mathrm{\varnothing }$

$B.S_1\subset ({\complement }_I{S}_2\bigcap {\complement }_I{S}_3)$

$C.{\complement }_I{S}_1\cap {\complement }_I{S}_2\cap {\complement }_I{S}_3=\mathrm{\varnothing }$

$D.S_1\subset ({\complement }_I{S}_2\cup {\complement }_I{S}_3)$

几何相关

需要画图找到条件 (积化和差公式)

已知 $\mathrm{△}ABC$ 的外接圆半径为 1，则 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}$ 的最大值为___.

尝试

在尝试了正弦定理，余弦定理后，都没法求出答案。总感觉还需要个条件。

比如 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=\frac{b^2-a^2-c^2}{2}$，

$a,b,c$ 的取值范围没法确定，也就不知道该怎么解题。

TIP

为什么一开始没有做出来？因为不知道积化和差公式和三角之和等于 $\pi$ 的运用。

其次，第一次看标准答案使用积化和差公式，也不明白为什么 $cos(A-C)$ 要取最大值 1，其实 $A-C$ 的取值并不影响 $B$ 的取值。

解：

法二

利用正弦定理，和差化积公式和三角形内角之和等于 $\pi$ 的知识，再利用不等式的知识，求解出答案。

$2sinAsinC$

$=cos(A-C)-cos(A+C)=cosAcosC+sinAsinC-(cosAcosC-sinAsinC)$

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=accos(\pi -B)$

$=-4sinAsinCcosB$

$=-2(cos(A-C)+cosB)cosB$

可以令 $b=cos(A-C),b\in [-1,1]$

$t=cosB,t\in [-1,1]$

$\mathrm{原}\mathrm{式}=-2(t^2+bt)$，求它的最大值。就是求二次函数 $(t^2+bt)$ 的最小值。

当 $t=-\frac{b}{2}$ 时，取得最大值 $-2\cdot (\frac{b^2}{4}-\frac{b^2}{2})=-2\cdot -\frac{b^2}{4}=\frac{b^2}{2}$。

当 b 取最大值 1 时取得最大值 $\frac{1}{2}$

法一

这题需要画图，观察它的几何图形性质。

我们假设 $BC$ 的长度为 $x$，那么 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}$ 的最大值其实是在说，$\mathrm{\angle }ABC$ 为钝角，求 $(\mathrm{向}\mathrm{量}AB\mathrm{在}\mathrm{向}\mathrm{量}BC\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{投}\mathrm{影})\times BC$ 的最大值。

接下来就是图画找关系，然后得到一个一元二次方程，最后求它的最值。

技巧感悟

什么是内心？

内心是三角线角平分线的交点。

计算技巧

尽可能将分式转换为整式。分式很容易算错。

为什么解答题会作对，选择填空题反而做错？

因为解答题按步骤来，每一步都有思考，每一步都有根据来源，不是想当然得出结果的。

选择填空题有时候容易想当然，所以如果题目不是很熟，还是需要按步骤来，不能在脑子里一想觉得是这样就选了。

很有可能就错了。