难度： 困难

标签： 导数问题分类讨论只能分类讨论证明题同构法

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

设函数 $f(x)=(1-mx)ln(1+x)$

（1）若当 $0<x<1$ 时，函数 $f(x)$ 的图像恒在直线 $y=x$ 上方，求 m 的范围。

（2）求证：$e>(\frac{1001}{1000}{)}^{1000.4}$

小技巧

什么时候不适合分离参数？

• 当式子存在分式且分母是 $lnx,sinx,cosx$ 这类超越函数时不太适合

• 当未知数与 $sinx,lnx,cosx$ 这类超越函数相乘时不太适合

构造函数时，往题目给出的函数形式凑。

解

第一问

$g(x)=ln(1+x)-mxln(1+x)-x⩾0$

$g^{\prime }(x)=\frac{1}{x+1}-m[ln(1+x)+\frac{x}{1+x}]-1$

$(\frac{x}{1+x}{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$，可以记住这个结论

$g^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{(x+1{)}^2}-m[\frac{1}{1+x}+\frac{1}{(1+x{)}^2}]-1$

$=-\frac{mx+2m+1}{(1+x{)}^2}$

下面进行分类讨论：

1、当 $m⩾0$ 时，

$mx+2m+1>0,g^{\prime \prime }(x)<0,g^{\prime }(x)$ 单减，$g^{\prime }(x)<g^{\prime }(0)=0$

所以 $g(x)$ 单减，$g(x)<g(0)=0$

与条件不符，舍去。

2、当 $m<0$ 时

1）当 $2m+1⩽0$，即 $m⩽-\frac{1}{2}$ 时

$mx+2m+1<0,g^{\prime \prime }>0,g^{\prime }(x)$ 单增，

$g^{\prime }(x)>g^{\prime }(0)=0$

所以 $g(x)$ 单增，$g(x)>g(0)=0$

符合题意。

2）当 $2m+1>0$，即 $-\frac{1}{2}<m<0$ 时

取 $x_0=min\{1,-\frac{2m+1}{m}\}$

当 $x\in (0,x_0)$，$mx+2m+1>0,g^{\prime \prime }<0$

$g^{\prime }(x)$ 单减，$g^{\prime }(x)<g^{\prime }(0)=0$

$g(x)$ 单减，$g(x)<g(0)=0$

不符题意，舍去

综上，$m⩽-\frac{1}{2}$

第二问

$e>(\frac{1001}{1000}{)}^{1000.4}$

$1>1000.4ln\frac{1001}{1000}$

$1>1000.4ln(1+\frac{1}{1000})$

$1>(1000+\frac{2}{5})ln(1+\frac{1}{1000})$

令 $x=\frac{1}{1000},x\in (0,1)$

$\frac{1}{1000}>(1+\frac{2}{5\times 1000})ln(1+\frac{1}{1000})$

$x>[1-(-\frac{2}{5})x]ln(1+x)$

因为 $-\frac{1}{2}<-\frac{2}{5}<0$

所以由第一问知道，

$[1-(-\frac{2}{5})x]ln(1+x)<x$

从而得证。