难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题比值换元

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=\frac{1}{x}-x+alnx$

（1）讨论 $f(x)$ 的单调性

（2）若 $f(x)$ 存在两个极值点 $x_1,x_2$，证明：$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<a-2$

第一问

$f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}-1+\frac{a}{x}$

$=\frac{-1-x^2+ax}{x^2}$

$=\frac{-x^2+ax-1}{x^2}$

一、当 $\mathrm{\Delta }=a^2-4⩽0$

即 $-2⩽a⩽2$ 时，

$f^{\prime }(x)⩽0,f(x)$ 在 $(0,+\mathrm{\infty })\downarrow$

二、当 $\mathrm{\Delta }=a^2-4>0$

即 $a<-2$ 或 $a>2$ 时，

1）当 $a<0$ 时，

$f^{\prime }(x)<0,f(x)$ 在 $(0,+\mathrm{\infty })\downarrow$

2）当 $a>0$ 时，

令 $x_1=\frac{a-\sqrt{a^2-4}}{2},x_2=\frac{a+\sqrt{a^2-4}}{2}$

在 $(0,x_1),f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow$

在 $(x_1,x_2),f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

在 $(x_2,+\mathrm{\infty }),f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow$

第二问

$f(x)$ 存在两个极值点 $x_1,x_2$

说明 $-x^2+ax-1=0$ 有两解 $x_1,x_2(\mathrm{设}{x}_1>x_2>0)$

$\{\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }=a^2-4>0\\ a>0\end{array}$

所以 $a>2$

$x_1{x}_2=1,x_1+x_2=a$

$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=\frac{\frac{1}{x_1}-x_1+aln{x}_1-\frac{1}{x_2}+x_2-aln{x}_2}{x_1-x_2}$

$=\frac{2(x_2-x_1)+aln\frac{x_1}{x_2}}{x_1-x_2}$

即证 $\frac{2(x_2-x_1)+aln\frac{x_1}{x_2}}{x_1-x_2}<x_1+x_2-2$

$-2+\frac{aln\frac{x_1}{x_2}}{x_1-x_2}<x_1+x_2-2$

$-2+\frac{aln\frac{x_1}{x_2}}{\sqrt{\frac{x_1}{x_2}}-\sqrt{\frac{x_2}{x_1}}}<\sqrt{\frac{x_1}{x_2}}+\sqrt{\frac{x_2}{x_1}}-2$

令 $t=\sqrt{\frac{x_1}{x_2}},t>1$

因为 $x_1+x_2=a>2,x_1{x}_2=1$

所以 $\sqrt{\frac{x_1}{x_2}}+\sqrt{\frac{x_2}{x_1}}=t+\frac{1}{t}>2$

所以 $t>1$

即证 $2(t+\frac{1}{t})lnt<(t+\frac{1}{t})(t-\frac{1}{t})$

$2lnt<t-\frac{1}{t}$

令 $\phi (x)=x-\frac{1}{x}-2lnx,(x>1)$

${\phi }^{\prime }(x)=1+\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}$

$=\frac{x^2-2x+1}{x^2}=\frac{(x-1{)}^2}{x^2}⩾0$

所以 $\phi (x)\uparrow ,\phi (x)>\phi (1)=0$

所以得证。