05 事件的相互独立

两个事件 $A,B$ 相互独立，你考多少分和你同学考多少分没有任何关系。

怎么从数学意义上严格证明两个事件独立呢？

如果两个事件同时发生的概率等于两个事件各自发生的概率相乘，那么就称这两个事件独立。

在整个试验中，$\mathrm{试}\mathrm{验}A\mathrm{发}\mathrm{生}\mathrm{的}\mathrm{结}\mathrm{果}\mathrm{数}=AB\bigcup A\bar{B}$。

即 $A=AB\bigcup A\bar{B}$。

证明：

$P(A)=P(AB\bigcup A\bar{B})=P(AB)+P(A\bar{B})$

$=P(A)P(B)+P(A\bar{B})$

$=P(A)P(B)+P(A)(1-P(B))$

$=P(A)P(B)+P(A)P(\bar{B})$

$=P(A)\cdot 1$

例题 1

解：

两个事件是否相互独立？

$P(AB)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}\ne P(A)\cdot P(B)$

例题 2

解：

TIP

分类用加法，有第一步第二步用乘法。

（1） A，B 相互独立。

$P(AB)=P(A)\cdot P(B)=0.8\times 0.9=0.72$

（2）

$\{\begin{array}{l}\mathrm{甲}\mathrm{中}，\mathrm{乙}\mathrm{不}\mathrm{中}\\ \mathrm{甲}\mathrm{不}\mathrm{中}，\mathrm{乙}\mathrm{中}\end{array}$

$(0.8\times 0.1)+(0.2\times 0.9)=A\bar{B}\bigcup \bar{A}B$

（3）

$P(\bar{A}\bar{B})=P(\bar{A})\cdot P(\bar{B})=0.2\times 0.1=0.02$

（4）

$P(D)=1-P(\bar{A}\bar{B})=1-0.02=0.98$

或

$P(D)=P(AB\bigcup A\bar{B}\bigcup \bar{A}B)$

例题 3

解：

解法一，按第几轮分类。

解法二，按人才对几个分类。