难度： 困难

标签： 长除法比较大小问题二次函数根的理解

是否做正确： 做错了

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知抛物线 $y=-2x^2+bx+c$ 经过点 $(0,-2)$，当 $x<-4$ 时，y 随 x 的增大而增大，当 $x>-4$ 时，y 随 x 的增大而减小。设 r 是抛物线 $y=-2x^2+bx+c$ 与 x 轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，$m=\frac{r^9+r^7-2r^5+r^3+r-1}{r^9+60r^5-1}$.

（3）以下结论：$m<1,m=1,m>1$，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论。

解

$-2=c$

$-\frac{b}{-4}-4$

$b=-16$

$y=-2x^2-16x-2$

$=-2(x^2+8x+1)$

$x_1,x_2=\frac{-8\pm \sqrt{60}}{2}<0$

设 $m=\frac{r^9+r^7-2r^5+r^3+r-1}{r^9+60r^5-1}$

$a=r^9+60r^5-1$

$b=r^9+r^7-2r^5+r^3+r-1$

$b-a=r^7-62r^5+r^3+r$

$=r(r^6-62r^4+r^2+1)$

因为 r 是二次函数 $y=-2(x^2+8x+1)$ 的根，

所以

$r^2+8r+1=0$

所以利用长除法，

可得

$b-a=r[(r^2+8r+1)(x^4-8x^3+x^2)+1]=r$

$m=\frac{a+r}{a}=1+\frac{r}{a}$

因为 $r<0$

所以 $\frac{r}{a}=\frac{r}{r^9+60r^5-1}>0$

所以 $m>1$