难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题曲线拟和曲线零点差问题极值点偏移

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=e^x-\frac{1}{2}a{x}^2$

（1）当 $x>0$ 时，$f(x)>x+1$，求 a 的取值范围；

（2）若 $f(x)$ 在 $x>0$ 时有两个极值点 $x_1,x_2$，证明：

$\mathrm{①}{x}_1+x_2>2;\mathrm{②}|ln\frac{x_2}{x_1}|<\sqrt{a^2-2a-1}\cdot x_1{x}_2$

TIP

109 题和这题一样。

解

（1）

$f(x)=e^x-\frac{1}{2}a{x}^2$

$x>0,f(x)>x+1$

$e^x-\frac{1}{2}a{x}^2>x+1$

$e^x-\frac{1}{2}a{x}^2-x-1>0$

令 $h(x)=e^x-\frac{1}{2}a{x}^2-x-1,x>0$

$h^{\prime }(x)=e^x-ax-1,h^{\prime \prime }=e^x-a$

$h(0)=0$

所以有必要条件 $h^{\prime }(0)=1-1=0⩾0$

$h^{\prime \prime }(0)=1-a⩾0$

即 $a⩽1,-a⩾-1$

下证，当 $a⩽1$ 时，$x>0,e^x-\frac{1}{2}a{x}^2-x-1>0$

$h^{\prime \prime }=e^x-a⩾e^x-1⩾0$

所以 $h^{\prime }(x)\uparrow$

$h^{\prime }(x)>h^{\prime }(0)=0$

$h(x)\uparrow$

$h(x)>h(0)=1-1=0$

得证，

$a⩽1$

（2）

$f^{\prime }(x)=e^x-ax$

因为 $f(x)$ 在 $x>0$ 时有两个极值点 $x_1,x_2$

所以

$e^{x_1}-a{x}_1=0$

$e^{x_2}-a{x}_2=0$

$\frac{e^{x_1}}{e^{x_2}}=\frac{x_1}{x_2}$

$e^{x_1-x_2}=\frac{x_1}{x_2}$

$x_1-x_2=ln\frac{x_1}{x_2}$

要证 $x_1+x_2>2$

即证 $\frac{x_1+x_2}{x_1-x_2}>\frac{2}{ln\frac{x_1}{x_2}}$

……