难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=lnx-ax+1(a\in R)$.

（1）讨论函数 $f(x)$ 的单调性；

（2）若函数 $f(x)$ 有两个零点 $x_1,x_2$，且 $x_2>2x_1$，求证：$x_1^2{x}_2^3>\frac{256}{e^5}$

解

（1）

$f(x)=lnx-ax+1,x>0$

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-a$

$=\frac{1-ax}{x}$

一、当 $a⩽0$，

$1-ax>0$

$f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$ 在 $(0,+\mathrm{\infty })$

二、当 $a>0$

$0<x<\frac{1}{a},f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

$x>\frac{1}{a},f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow$

（2）

要证 $x_1^2{x}_2^3>\frac{256}{e^5}$

即证 $ln{x}_1^2+ln{x}_2^3>ln{2}^8-ln{e}^5$

$2ln{x}_1+3ln{x}_2>8ln2-5$

$\{\begin{array}{l}ln{x}_1=a{x}_1-1\mathrm{①}\\ ln{x}_2=a{x}_2-1\mathrm{②}\end{array}$

$\mathrm{②}-\mathrm{①}$，

$ln\frac{x_2}{x_1}=a(x_2-x_1)$

$2a{x}_1-2+3a{x}_2-3>8ln2-5$

$2a{x}_1+3a{x}_2>8ln2$

$a(2x_1+3x_2)>8ln2$

$ln\frac{x_2}{x_1}\cdot \frac{2x_1+3x_2}{x_2-x_1}>8ln2$

$ln\frac{x_2}{x_1}\cdot \frac{2+\frac{3x_2}{x_1}}{\frac{x_2}{x_1}-1}>8ln2$

令 $\frac{x_2}{x_1}=t,t>2$

即证

$lnt\cdot \frac{2+3t}{t-1}>8ln2$

$lnt-8ln2\cdot \frac{t-1}{2+3t}>0$

令 $h(t)=lnt-8ln2\cdot \frac{t-1}{2+3t}$

$h^{\prime }(t)=\frac{1}{t}-8ln2\cdot \frac{2+3t-3(t-1)}{(2+3t{)}^2}$

$=\frac{1}{t}-8ln2\cdot \frac{5}{(2+3t{)}^2}$

$=\frac{1}{t}-\frac{40ln2}{(2+3t{)}^2}$

$=\frac{9t^2+(12-40ln2)t+4}{t(t+3t{)}^2}$

$9t^2+(12-40ln2)t+4>9t^2+(12-40\times 0.7)t+4$

$=9t^2-16t+4>0$

所以 $h(t)$ 在 $(2,+\mathrm{\infty })$ 单调递增，

$h(t)>h(2)=0$

所以 $x_1^2{x}_2^3>\frac{256}{e^5}$

TIP

多变量问题，解题方法比较固定的题型有：韦达定理、极值点偏移、拐点偏移、零点差问题。

还有些多变量问题，需要点对式子操作变形的经验。

比如

1. 出现高次乘法的时候，两边取对数，把高次降下来
2. 有对数的话，经常做减法，这样可以出现比值

TIP

$ln2\approx 0.69\approx 0.7$