难度： 困难

标签： 圆锥曲线抛物线最值范围问题弦长公式

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

为定值。

设 $l_{BC}:x=my+4,m=\frac{1}{k}$

$B(x_1,y_1),C(x_2,y_2)$

$k_1=\frac{y_1}{x_1+2},k_2=\frac{y_2}{x_2+2}$

$k_2=\frac{y_2}{x_2+2}$

$k_1{k}_2=\frac{y_1{y}_2}{(x_1+2)(x_2+2)}$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ x=my+4\end{array}$

$(3m^2+4)y^2+24my+36=0$

$y_1{y}_2=\frac{36}{3m^2+4}$

$y=\frac{x-4}{m},3x^2+4\frac{(x-4{)}^2}{m^2}-12=0$

$(x_1+2)(x_2+2)=\frac{3\times 4+\frac{4\times 36}{m^2}-12}{3+\frac{4}{m^2}}=\frac{4\times 36}{3m^2+4}$

$k_1{k}_2=\frac{36}{4\times 36}=\frac{1}{4}$

解（2）

$k_1=\frac{y_M}{AP}=\frac{y_M}{6}$

$k_2=\frac{y_N}{AP}=\frac{y_N}{6}$

$|MN|=|y_M-y_N|=6(k_1-k_2)$

$=6(\frac{y_1}{x_1+2}-\frac{y_2}{x_2+2})$

因为 $x=my+4,m=\frac{1}{k}$

所以 $y=kx-4k$

$|MN|=6|[\frac{k(x_1+2)-6k}{x_1+2}-\frac{k(x_2+2)-6k}{x_2+2}]|$

$=6(k-\frac{6k}{x_1+2}-k+\frac{6k}{x_2+2})$

$=6\times 6k(\frac{1}{x_2+2}-\frac{1}{x_1+2})$

$=36k[\frac{x_1-x_2}{(x_2+2)(x_1+2)}]$

$x_1-x_2=\frac{\sqrt{4\times 4\times 3\times m^2(3m^2+4-16)}}{3m^2+4}$

$=\frac{4\sqrt{3m^2(3m^2-12)}}{3m^2+4}$

$=\frac{12m\sqrt{m^2-4}}{3m^2+4}$

$|MN|=36k\frac{12m\sqrt{m^2-4}}{4\times 36}$

$=3\sqrt{\frac{1}{k^2}-4}$

$9⩽\frac{1}{k^2}⩽16$

$3\sqrt{9-4}⩽|MN|⩽3\sqrt{16-4}$

$3\sqrt{5}⩽|MN|⩽6\sqrt{3}$

TIP