难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题分类讨论三角函数求导

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=\frac{bsinx+c}{a^x}(a>0,a\ne 1)$，当 $a=c,b=1$ 时，曲线 $y=f(x)$ 在 $x=0$ 处的切线与 $x$ 轴平行。

（1）求 $c$；

（2）当 $x\in [0,\pi ]$ 时，$f(x)⩽1$，证明：$a⩾eb$。

解（1）

$f^{\prime }(x)=\frac{bcosx\cdot a^x-(bsinx+c)a^{x}lna}{a^{2x}}$

$a=e,b=1$

$f^{\prime }(x)=\frac{cosx\cdot e^x-(sinx+c)e^x}{e^{2x}}$

$=\frac{cosx-sinx-c}{e^x}$

$f^{\prime }(0)=1-c=0$

$c=1$

解（2）

$f(x)⩽1$

$\frac{bsinx+1}{a^x}⩽1$

$a^x-bsinx-1⩾0$

令 $g(x)=a^x-bsinx-1$

$g(0)=0$

$g(\pi )=a^{\pi }-1⩾0$

$a>1$

$g^{\prime }(x)=a^{x}lna-bcosx$

（一）$b⩽0,g^{\prime }(x)>0,g(x)\uparrow$

$g(x)⩾g(0)=0$

（二）$b>0$

（i）$lna>b$

$g^{\prime }(x)>0,g(x)\uparrow$

（ii）$lna<b$

$g^{\prime \prime }=(lna{)}^2{a}^x+bsinx>0$

所以 $g^{\prime }(x)\uparrow$

$g^{\prime }(0)=lna-b<0$

$g^{\prime }(\pi )=a^{\pi }lna+b>0$

所以 $g^{\prime }(x)$ 有唯一零点 $x_0$

$0<x<x_0,g(x)\downarrow$

$x_0<x<\pi ,g(x)\uparrow$

因为 $g(0)=0$

所以此种情况不符题意

所以只需满足 $lna>b,a>1$，就可使 $g(x)⩾0$

要证 $a⩾eb$

即证 $a⩾elna>eb$

$a-elna⩾0$

令 $m(a)=a-elna(a>1)$

$m^{\prime }(a)=1-\frac{e}{a}=\frac{a-e}{a}$

$1<x<e,m^{\prime }(a)<0,m(a)\downarrow$

$x>e,m^{\prime }(a)>0,m(a)\uparrow$

$m(a)>m(e)=e-e=0$

所以证毕。

TIP

恒成立翻译完后，比得到一个不等式；要不然关于 a，要不然关于 b，然后利用放缩解题。