难度： 困难

标签： 导数问题放缩裂项相消

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=e^x-ax-1$（e 为自然对数的底数）。

（1）求函数 $f(x)$ 的单调区间。

（2）当 $a>0$ 时，若 $f(x)\ge 0$ 对任意的 $x\in R$ 恒成立，求实数 $a$ 的值；

（3）求证：

$ln[1+\frac{2\times 3}{(3-1{)}^2}]+ln[1+\frac{2\times 3^2}{(3^2-1{)}^2}]+...+ln[1+\frac{2\times 3^n}{(3^n-1{)}^2}]<2$

解

第一问

$f^{(}x)=e^x-a$

当 $a>0$ 时

$f^{\prime }(lna)=0$

在 $x\in (-\mathrm{\infty },lna)$ 时，$f^{\prime }(x)<0,f(x)$ 单调递减

在 $x\in (lna,+\mathrm{\infty })$ 时，$f^{\prime }(x)>0,f(x)$ 单调递增

当 $a⩽0$ 时

$f^{\prime }(x)>0$

$f(x)$ 在 R 上单增

第二问

$a>0$

$f(x{)}_{min}=f(lna)⩾0$

$a-alna-1⩾0$

令 $g(x)=x-xlnx-1,x>0$

$g^{\prime }(x)=1-lnx-1$

$=-lnx$

在 $x\in (0,1),g^{\prime }(x)>0,g(x)$ 单增

在 $x\in (1,+\mathrm{\infty }),g^{\prime }(x)<0,g(x)$ 单减

$g(x{)}_{max}=g(1)=0$

$\therefore a=1$

第三问

要证 $ln[1+\frac{2\times 3}{(3-1{)}^2}]+ln[1+\frac{2\times 3^2}{(3^2-1{)}^2}]+...+ln[1+\frac{2\times 3^n}{(3^n-1{)}^2}]<2$，观察到有 $ln(1+...)$ 这一项，

所以联想到 $x>ln(x+1)$ 这个放缩，

所以要证的就放缩为证

$\frac{2\times 3}{(3-1{)}^2}+\frac{2\times 3^2}{(3^2-1{)}^2}+...+\frac{2\times 3^n}{(3^n-1{)}^2}<2$

$\sum _{k=1}^n\frac{2\times 3^k}{(3^k-1{)}^2}<2$

因为分母有平方，为了去掉平方，我们联想到使用裂项相消去掉平方。

但是并不能直接裂项，所以需要再次放缩裂项，那么怎么放缩裂项呢？

为了让前一项裂出的两项能被后一项裂出的两项抵消到一项，

所以让分母的 $3^k$ 上升一个次数，得到（这里我们使用待定系数法，稍后看为了让放缩成立，a 该取多少）

$\sum _{k=1}^n\frac{2\times 3^k}{(3^k-1{)}^2}<\sum _{k=1}^n(\frac{a}{3^k-1}-\frac{a}{3^{k+1}-1})=\sum _{k=1}^n\frac{a\cdot 2\cdot 3^k}{(3^k-1)(3^{k+1}-1)}<2$

为了满足放缩成立，我们需要满足

$\frac{1}{3^k-1}<\frac{a}{3^{k+1}}-1$

即 $3\cdot 3^k-1<3^k\cdot a-a$

可以得到 $a$ 最小取 4，才能让我们的放缩成立。

所以 $a=4$

即我们要证明

$\sum _{k=1}^n(\frac{4}{3^k-1}-\frac{4}{3^{k+1}-1})<2$

这里明显可以使用裂项相消了，

也就是 $\frac{4}{3-1}-\frac{4}{3^{n+1}-1}<2$

当 $n\to \mathrm{\infty },\frac{4}{3^{n+1}-1}\mathrm{趋}\mathrm{近}\mathrm{于}0$

所以 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{4}{3-1}-\frac{4}{3^{n+1}-1})=2$

所以题目得证。