05 题型技巧课：机车启动

题型特征

问机车启动过程中的力、功率、速度、加速度。

图像

恒力、恒加速度启动图像

额定功率（最大功率）启动图像

受力分析

汽车发动机的功率、牵引力、汽车速度

汽车发动机的功率、牵引力、汽车速度满足如下关系：

$$P=F_{\mathrm{牵}}v$$

汽车最大速度

$P=Fv$

当汽车发动机功率最大（发动机的额定功率为最大功率），牵引力最小时（牵引力与摩擦力平衡时最小），汽车达到最大速度。

$\therefore v=\frac{P}{F}$

$v_m=\frac{P_m}{f}$

机车启动核心公式

1. $P=F_{\mathrm{牵}}v$
2. $F_{\mathrm{牵}}-f=ma$

恒功率启动

一脚油门踩到底，全程 $P=P_{max}$

$P_{max}=Fv$

$F-f=ma$

先做 a 减小的加速运动，达到 $v_m$ 后做匀速运动

恒加速度启动

油门慢慢踩，开始时 $a$ 不变

$P=Fv$

$F-f=ma$

$a$ 不变，那么 $F$ 也不变。速度 $v$ 慢慢增大，P 慢慢增大，当达到额定功率 $P_{max}$ 时，后面就变为了恒定功率启动问题，v 继续增大，$F_{\mathrm{牵}}$ 慢慢减小，汽车将做一个加速度逐渐减小的加速运动，直到加速度减为 0，汽车匀速。

TIP

通过分析恒加速启动，我们可以知道要求最大功率 $P_{max}$，除了通过 $P_{max}=f{v}_{max}$，还可以通过 $P_{max}=Fv$（这里的 $F$ 指汽车匀加速启动时的牵引力，$v$ 指匀加速阶段结束时的速度。）

两种启动方式对比

无论哪种方式，最大速度不变。$v_{max}=\frac{P_{max}}{f}$

恒功率启动更快，会先到达最大速度。

做题意识

1. 写核心方程

$P=Fv$

$F-f=ma$

2. 求启动过程物理量，看阶段

恒 P 阶段，P 固定，$P=P_m$

恒 a 阶段，F 固定，$F=f+ma$

3. 求最大速度、额定功率

$P_m=f{v}_m$

$P_m=Fv$（匀加速结束时刻的 F、v）

例题

题 1

解

$P=Fv$

因为匀速行驶，$F=f$

$P=1.8\times {10}^3\times 20$

$=36\times {10}^3$

$C$

题 2

解

$P=Fv$

$v_m=\frac{P_{max}}{F_{min}}=\frac{1.8\times {10}^8}{1.2\times {10}^7}$

$=1.5\times 10=15$

$C$

题 3

解

$v_1=\frac{P}{k_{1}mg}$

$v_2=\frac{P}{k_{2}mg}$

$\frac{v_1}{v_2}=\frac{k_2}{k_1}$

$v_2=\frac{v_1{k}_1}{k_2}$

$B$

题 4

解

$v_{max}=\frac{P_{max}}{f}$

$=\frac{36\times {10}^3}{2400}$

$=\frac{360}{24}=15$

$F=\frac{P}{v}=\frac{36\times {10}^3}{10}=3600$

$F-f=ma$

$a=\frac{3600-2400}{5000}$

$=\frac{1200}{5000}=0.24$

$B$

题 5

解

$P=Fv$

$F-f=ma$

P 增大的一瞬间，F 增大。然后 F 满减小，v 慢慢增大。知道 $F=f$，车做匀速运动。

所以车做的是 a 加速度逐渐减小的加速运动。只有 A 图能体现。

$A$

题 6

解

$f=0.1\times mg=1000N$

$F_{\mathrm{恒}}-1000=4000$

$F_{\mathrm{恒}}=5000N$

A 错。

$P_{max}=F_{\mathrm{恒}}v=5000\times 20=1\times {10}^5$

B 对。

C 可以通过当汽车的速度超过 20m/s 时汽车就做加速度减小的加速运动得知，C 错。

$v_{max}=\frac{P_{max}}{f}=\frac{{10}^5}{1000}=100m/s$

D 错。

$B$

题 7

解

$0-t_1$ 匀加速

$t_2-t_3$ a 减小的加速运动。

A 错

B 错。

C 错。

D 对。

题 8

解

（1）

$f=kmg=2000N$

$P_{max}=f{v}_{max}$

$v_{max}=\frac{60000}{2000}=30m/s$

（2）

$F_{\mathrm{恒}}-f=ma$

$F_{\mathrm{恒}}=2000+4000$

$=6000$

$P_{max}=F_{\mathrm{恒}}{v}_1$

$v_1=10m/s$

题 9

TIP

求某时刻的瞬时功率，要先确认此时是匀加速还是变加速，一旦进入变加速，$P=P_{max}$

解

（1）

$P_{max}=f{v}_{max}$

$P_{max}=2.5\times {10}^3\times 32$

$=80000W$

（2）

$F_{\mathrm{恒}}-f=ma$

$F_{\mathrm{恒}}=1.5\times {10}^3\times 1+2.5\times {10}^3$

$=4\times {10}^3$

$P_{max}=F_{\mathrm{恒}}{v}_1$

$v_1=\frac{80000}{4000}=20m/s$

因为 $t_1=\frac{v_1}{a}=20s$

所以 25s 时汽车以恒定功率行驶，

$P_{25}=P_{max}=8\times {10}^4$

（3）

$v_3=5m$

$t=\frac{v_3}{a}=5s$

$P_3=F_{\mathrm{恒}}{v}_3$

$=4000\times 5=2\times {10}^{4}W$

（4）

当 $v_4=25m/s$ 时，汽车处于恒定功率状态

$P_{max}=F^{\prime }{v}_4$

$F^{\prime }=\frac{8\times {10}^4}{25}=3200$

$a=\frac{F^{\prime }-f}{m}\approx 0.47$