11 题型技巧课：竖直圆杆模型

题型特征

1. 球 + 杆在竖直面做圆周运动，分析最高、最低点速度/力
2. 球在竖直圆管道内运动，分析最高、最低点速度/力

杆模型最低点

和竖直圆模型最低点是一样的。

核心方程：$T-mg=m\frac{v^2}{R}$

杆模型最高点

情况一

杆支持小球情况：$mg>ma$

核心方程：$mg-T=ma$

情况二

杆不拉不顶小球情况：$mg=ma$

核心方程：$mg=ma$

情况三

杆拉小球情况：$mg<ma$

核心方程：$mg+T=ma$

最小速度

最小速度为 0。

过顶点的速度如果由小变到大，那么杆的的支持力一开始向上，先减小。然后方向向下，开始增大。

TIP

做题时先根据 v 求出 a，判断 ma 和 mg 的大小。

管道模型

和杆模型等价。

例题

题 1

解

A，应该是 0.

B 对。

C、D 错。先减小，后增大。错。

$B$

题 2

解

（1）

$T-mg=m\frac{v^2}{L}$

$T=mg+\frac{m{v}^2}{L}=20+36=56N$

（2）

$mg-N=m{\omega }^{2}L$

$20-4=2\times {\omega }^2\times 0.5$

${\omega }^2=16$

$\omega =4$

题 3

解

$\frac{m{v}_a^2}{R}=\frac{3\times 16}{0.5}=96N>G$

$\frac{m{v}_b^2}{R}=\frac{3\times 4}{0.5}=24N<G$

所以在 a 点杆是拉力。$T=96+30=126N$

在 b 点杆是压力。$30-N=24,N=6N$

A 对。

B 错。

C 错。

D 对。

$AD$

题 4

解

$D$

题 5

解

$AD$

题 6

解

$x=v_{0}t$

$2R=\frac{1}{2}g{t}^2$

$t=2\sqrt{\frac{R}{g}}$

情况 1：压外

$\frac{1}{2}mg+mg=\frac{m{v}_0^2}{R}$

$v_0=\sqrt{\frac{3}{2}gR}$

情况 2：压内

$mg-\frac{1}{2}mg=\frac{m{v}_0^2}{R}$

$v_0=\sqrt{\frac{gR}{2}}$

$x_1=2\sqrt{\frac{R}{g}}\times \sqrt{\frac{3}{2}gR}=\sqrt{6}R$

$x_2=2\sqrt{\frac{R}{g}}\times \sqrt{\frac{gR}{2}}=\sqrt{2}R$