07 题型技巧课：圆盘模型

题型特征

物体在粗糙圆盘上跟着转动，求摩擦力、何时滑动。

俩物体连绳子，分析何时绳子有力，何时滑动。

无绳圆盘

向心力由 摩擦力 提供。

角速度小，每滑动时，$F_{\mathrm{向}}=m{\omega }^{2}r$

角速度增大，即将要滑时，$F_{\mathrm{向}}=m{\omega }^{2}r=\mu mg$

滑动临界角速度为

$\omega =\sqrt{\frac{\mu g}{r}}$

临界角速度与质量无关，半径 $r$ 大的临界速度小，先达到临界速度。

所以半径 $r$ 大的先滑。

有绳圆盘

1. 第一种情况，求绳有力的临界角速度 $\omega$

因为最外面的物体先滑，所以 $\mu mg=m{\omega }^2{r}_{\mathrm{远}}$

$$\omega =\sqrt{\frac{\mu g}{r_{\mathrm{远}}}}$$

2. 第二种情况，求整体开始滑动的临界角速度 $\omega$

根据质心法，$x_1=\frac{m_2}{m_1+m_2}L=\frac{m_{\mathrm{远}}}{m_{\mathrm{总}}}L$

所以整体的半径为 $r_{\mathrm{整}}=r_{\mathrm{近}}+\frac{m_{\mathrm{远}}}{m_{\mathrm{总}}}L$

所以整体开始滑的临界角速度为

$$\omega =\sqrt{\frac{\mu g}{r_{\mathrm{整}}}}$$

质心法

求 $m_1$ 和 $m_2$ 的质心在哪里？

根据杠杆原理，$m_1{x}_1=m_2{x}_2$，

且 $x_1+x_2=L$

我们可以得出结论 $x_1=\frac{m_2}{m_1+m_2}L$（$x_1$ 为质心左边部分的长度）

$x_2=\frac{m_1}{m_1+m_2}L$

例题

题 1

解

$B$

题 2

解

${\omega }_{\mathrm{临}}=\sqrt{\frac{\mu g}{R}}$

A，C 的 ${\omega }_{\mathrm{临}}$ 最小，所以 C 最小滑动。对。

B，A、B 同时滑动。错。

C，设 $m_1=2,m_2=3$。$F_A=2{\omega }^{2}R,F_B=3{\omega }^{2}R,F_C=3{\omega }^{2}R$。对。

D，$a={\omega }^{2}r$，C 的 a 最大。对。

$ACD$

题 3

解

A，$a={\omega }^{2}r$。C 最大。错。

B，B 最小。错。

C，最外面的先滑，对。

D，一起滑。错。

$C$

题 4

解

绳产生弹力的临界角速度为 $\sqrt{\frac{Kg}{r_{\mathrm{远}}}}=\sqrt{\frac{Kg}{2L}}$

A 对。

把 AB 当作一个整体，$r_{\mathrm{整}}=L+\frac{1}{2}L=\frac{3}{2}L$

整体开始滑动的临界角速度为 $\sqrt{\frac{2Kg}{3L}}$

B 对。

对 A，$F_{\mathrm{向}}=m{\omega }^{2}r=f-T$，角速度增大，$f-T$ 增大。第一阶段 f 增大，第二阶段 T 增大，f 的增大速度更快。

C 对。

D 错。D 的摩擦力已经超过最大限度了。

$ABC$

题 5

解

A 它们是一起滑动。错。

B 对。

C，当处于这个加速度时，a、b 已经开始滑动，所以 $f=\mu mg$，C 对。

D，此时整体开始滑动。若剪断细线，那么 a 将做向心运动。错。或者说临界 ${\omega }_a=\sqrt{\frac{kg}{L}}$，大于 $\omega$，所以不会滑动。错。

$BC$

题 6

解

利用整体法、质心法，可以得出 D 正确。

$D$

题 7

解

分析 b，$T+kmg=m{\omega }^{2}2l$

$T+kmg=m\frac{2kg}{3L}2L$

$T=\frac{1}{3}kmg$

A 错。

B 对。此时达到 b 临界速度，绳刚好有力。

C b 会漂出去。错。

D，此时 b 达到最大静摩擦力 $kmg$，错。

$B$