11 题型技巧课：平抛临界问题

题型特征

对着球网/挡板平抛，分析过网、界内条件。

临界总结

要想球过网，则球的高度 $h$ 必须大于球网 $L$。

要想球不出界，则要让 $v_0$ 在 $v_{min}$ 和 $v_{max}$ 之间。

因为我们只关心过不过网、出不出界，与时间无关系，所以使用公式 $h=\frac{1}{2}g(\frac{x}{v_0}{)}^2$ 列方程。

例题

题 1

解

（1）

$t=\frac{x}{v_0}$

$h=\frac{1}{2}g(\frac{x}{v_0}{)}^2$

$2.45-2=5\times \frac{9}{v_0^2}$

$0.45=\frac{45}{v_0^2}$

$v_0=10m/s$

所以 $v>10m/s$

（2）

对部分 $h-2=\frac{1}{2}g(\frac{x}{v_0}{)}^2$

$h-2=5\times \frac{9}{v_0^2}$

对整体 $h=\frac{1}{2}g(\frac{3+9}{v_0}{)}^2$

$h=5\times \frac{144}{v_0^2}$

$\frac{h-2}{h}=\frac{9}{144}$

$9h=144h-288$

$h\approx 2.13$

题 2

解

$v_{min}:$

$3h-h=\frac{1}{2}g(\frac{\frac{L_1}{2}}{v}{)}^2$

$2h=\frac{1}{2}g\frac{1}{v^2}\frac{L_1^2}{4}$

$2h=\frac{g{L}_1^2}{8}\frac{1}{v^2}$

$v^2=\frac{g{L}_1^2}{16h}$

$v=\frac{L_1}{4}\sqrt{\frac{g}{h}}$

$v_{max}:$

$3h=\frac{1}{2}g(\frac{\sqrt{L_1^2+\frac{1}{4}{L}_2^2}}{v}{)}^2$

$v^2=\frac{1}{4}\frac{g(4L_1^2+L_2^2)}{6h}$

选 $D$

题 3

TIP

已知平抛的初速度、高度，可以直接求在某时刻、某处的高度或水平位移。

解

（1）

$h-L=\frac{1}{2}g(\frac{x}{v_{min}}{)}^2$

$3.04-2.24=5\times \frac{81}{v^2}$

$0.8=5\times \frac{81}{v^2}$

$v_{min}=22.5m/s$

所以能过网。

法二

还可以直接算球在网处的高度。若球超过网的高度，那么就能过网，否则不能。

（2）

算最大速度，其实比较麻烦。因为知道了过网，所以可以直接算球的水平位移，看是否越界最简单

$h=\frac{1}{2}g(\frac{18}{v_{max}}{)}^2$

$3.04=5\times \frac{18\times 18}{v_{max}^2}$

$v_{max}^2=\frac{10125}{19}$

$v^2=625=\frac{11875}{19}$

所以过网了。

最优解：直接算球的水平位移

$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{0.608}s$

$x=v_{0}t=25\times \sqrt{0.608}$

$x^2=625\times 0.608>625\times 0.6=375$

${18}^2=324$

所以越界了。