10 题型技巧课：斜面平抛比例问题

题型特征

1. 出发点在斜面上，已知初速度之比，求其他物理量之比
2. 以相同初速度从拼接斜面平抛

结论

拼接斜面平抛结论

特征：拼接斜面，初速度相同。

设 $\theta$ 为斜面倾角，那么有 $2tan\theta =tan\phi =\frac{v_y}{v_0}=\frac{gt}{v_0}$

$t=\frac{2v_{0}tan\theta }{g}$

所以 $\frac{t_1}{t_2}=\frac{tan{\theta }_1}{tan{\theta }_2}$

初速度比值与其他物理量比值关系结论

我们有 $\frac{gt}{v_0}=2tan\theta$，等式右边不变，

当 $v_0$ 变为 $n$ 倍时，那么时间 $t$ 也变为 $n$ 倍。

$v_y=gt$，$v_y$ 也变为 $n$ 倍。

$v_{\mathrm{合}}=\sqrt{n^2{v}_0^2+n^2{v}_y^2}=n\sqrt{v_0^2+v_y^2}$ 合速度也变为 n 倍。

竖直位移 $h=\frac{1}{2}g{t}^2$ 变为 $n^2$ 倍。

水平位移 $x=v_{0}t=n^2{v}_{0}t$ 也变为 $n^2$ 倍。（$v_0,t$ 都变为原来的 $n$ 倍，相乘就为 $n^2$ 倍）

所以如果 $v_0$ 变为 n 倍，那么 $t,v_y,v_{\mathrm{合}}$ 也变为 $n$ 倍，

而位移 $x,h,x_{\mathrm{合}}$ 都变为 $n^2$ 倍。

所以有结论：

tv 之比 n 不变，只有位移要 $n^2$。

1 落 1 不落结论

如果第二次初速度是第一次 n 倍，第二次飞出斜面。

我们如果假设红色部分落在了斜面上，那么时间、位移分别是 $n$、$n^2$ 倍。

但现在没落在斜面上，

那么第二次的时间是第一次的 $1\sim n$ 倍（1 到 n 倍）

第二次的位移是第一次的 $1\sim n^2$ 倍。

结论为时间 $1\sim n$ 倍，位移 $1\sim n^2$ 倍

例题

题 1

解

时间之比等于对应的正切之比，

$t_A:t_B=tan{37}^{\circ }:tan{53}^{\circ }$

${3\over 4} : {4\over 3}= 9 : 16 $

$C$

题 2

解

$t_a:t_b=tan{30}^{\circ }:tan{60}^{\circ }$

$=\frac{1}{\sqrt{3}}÷\sqrt{3}$

$=1:3$

$D$

题 3

解

$v_{\mathrm{甲}}=v,v_y=gt,v_{\mathrm{合}}=\sqrt{v^2+g^2{t}^2}$

$v_{\mathrm{乙}}=\frac{v}{2},v_y=\frac{1}{2}gt,v_{\mathrm{合}}=\sqrt{\frac{1}{4}{v}^2+\frac{1}{4}{g}^2{t}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{v^2+g^2{t}^2}$

$v_{\mathrm{甲}}=2v_{\mathrm{乙}}$

$A$

题 4

解

只要是唯一之比，都是 $n^2$ 倍。

$C$

题 5

解

A，对。

B，对。

C，应该是 1:4。错。

D，应该是 1:2。错。

$AB$

题 6

解

$BD$

题 7

解

$C$

题 8

TIP

没有图。题目意思是从抛出到两小球第一次落地。

解

1. 若两小球都落在斜面上

那么 $x_1:x_2=1:4$，C 排除。

2. 若两小球都落在平面上，

$x_1:x_2=v_{1}t:v_{2}t=1:2$，A 排除

3. 若 A 球落在斜面，B 球落在平面上

$x_2$ 为 $x_1$ 的 $1\sim 4$ 倍。

所以 B 排除。

选 $D$