题型技巧课：小船过河

题型特征

1. 以最短时间渡河，求时间
2. 以最短路程渡河，求时间、位移、速度

船和车的区别

三个速度

1. $v_{\mathrm{船}}$：船在静水中的速度。方向为船头方向
2. $v_{\mathrm{水}}$：河水流动的速度
3. $v_{\mathrm{实}\mathrm{际}}$：船的实际速度。是 $v_{\mathrm{船}}$ $v_{\mathrm{水}}$ 的合速度。

过河时间

与 $v_{\mathrm{水}}$ 无关，只看 $v_{\perp }$

最短时间过河

关键词：船头垂直于河岸

最短位移过河

船速度大于水速度时

这时船可以垂直过河，这时的最短位移为河宽 d，这时过河的时间为 $\frac{d}{v_{\mathrm{船}}sin\theta }$

船速度小于水速度时

这时船不能垂直过河，这时的最短位移为 $\frac{d}{cos\theta }$，这时过河的时间为 $\frac{d}{v_{\mathrm{船}}sin\theta }$

一角法

在解决最短位移过河问题时，可以采用一角法，不用再判断船快还是水快（实际上还是要判断。）

1，求夹角余弦

求 $\theta$ 角。

$cos\theta =\frac{v_{\mathrm{小}}}{v_{\mathrm{大}}}$。

2，求最短路径过河的时间 t

$t=\frac{d}{v_{\mathrm{船}}sin\theta }$（为这个值是因为过河时间只与 $v_{\mathrm{船}}$ 的垂直分速度有关。）

3，判断求最短距离。

若船速大于水速，最短距离就是河宽。

若船速小于水速，最短距离为 $\frac{d}{cos\theta }$

例题

题 1

解

路程会增加，但到达岸时间只与 $v_{\perp }$ 有关，所以选

$C$

题 2

解

$t_{min}=\frac{60}{6}=10s$

A 对。

B，$x=10\times 8=80m$，错。

C，$v=\sqrt{6^2+8^2}=10m/s$，错。

D，错。

$A$

题 3

解

$cos\theta =\frac{3}{5}$

$sin\theta =\frac{4}{5}$

$t=\frac{d}{v_{\mathrm{船}}sin\theta }=\frac{120}{5\times \frac{4}{5}}=30s$

$C$

题 4

解

$\frac{d}{10}=24$

$d=240m$

A 错。

$cos\theta =\frac{4}{5}=0.8$

$sin\theta =\frac{3}{5}=0.6$

$t_{\perp }=\frac{d}{v_{\mathrm{船}}sin\theta }=\frac{240}{10\times \frac{3}{5}}=40s$

$v_{\perp }=6m/s$

B 对。

C 的角度说反了。

D 对。

$BD$

题 5

解

$v_{\mathrm{船}}<v_{\mathrm{水}}$

$cos\theta =\frac{1.5}{2.5}=\frac{3}{5}=0.6$

$sin\theta =0.8$

所以船头与上游夹角应该成 ${53}^{\circ }$

$t=\frac{d}{v_{\mathrm{船}}sin\theta }=\frac{180}{1.5\times 0.8}=\frac{180}{1.2}=150s$

$x=\frac{d}{cos\theta }=\frac{180}{0.6}=300m$