06 拉伸弹簧两次的受力问题

题型特征

弹簧拉伸/压缩两次，两次的受力不同，求一端的移动距离或弹簧的劲度系数 k。

我们可以利用结论快速列出关于弹簧长度的变化值 $\mathrm{\Delta }x$ 的方程。

两次都拉伸或压缩满足的关系

假设原长状态的弹簧为蓝色，

拉伸第一次的弹簧为黄色，

拉伸第二次的弹簧为红色。

第一次拉伸满足 $F_1=k\mathrm{\Delta }{x}_1$

第二次拉伸满足 $F_2=k\mathrm{\Delta }{x}_2$

那么弹簧长度的变化值 $\mathrm{\Delta }x$ 就满足 $F_2-F_1=k\mathrm{\Delta }x$

同理，如果两次都是压缩，就有结论 $F_2-F_1=k\mathrm{\Delta }x$

一次拉伸，一次压缩满足的关系

第一次拉伸满足 $F_1=k\mathrm{\Delta }{x}_1$

第二次压缩满足 $F_2=k\mathrm{\Delta }{x}_2$

那么弹簧长度的变化值 $\mathrm{\Delta }x$ 就满足 $F_1+F_2=k\mathrm{\Delta }x$

例题

题 1

如图所示，质量均为 m 的木块 A 和 B，用一个劲度系数为 k 的轻质弹簧连接，最初系统静止，现在用力缓慢拉 A 直到 B 刚好离开地面，则这一过程 A 上升的高度为（）

$A.\frac{mg}{k}$

$B.\frac{2mg}{k}$

$C.\frac{3mg}{k}$

$D.\frac{4mg}{k}$

解

$F_1=mg$ 压缩。

$F_2=mg$ 拉伸。

$F_1+F_2=2mg=k\mathrm{\Delta }x$

弹簧长度变化值=A 上升高度 = $\mathrm{\Delta }x=\frac{2mg}{k}$

$B$

题 2

如图所示，两木块的质量分别为 $m_1$ 和 $m_2$，两轻质弹簧的劲度系数分别为 $k_1$ 和 $k_2$，上面木块压在上面的弹簧上（但不挂接），整个系统处于平衡状态。现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧，在这过程中下面木块移动的距离为（）

$A.\frac{m_{1}g}{k_1}$

$B.\frac{m_{2}g}{k_2}$

$C.\frac{m_{1}g}{k_2}$

$D.\frac{m_{2}g}{k_1}$

解

先以上面的木块为分析对象，$m_{1}g=F_1$

所以上面的弹簧的弹力为 $m_{1}g$

再以下面的木块为分析对象，$m_{2}g+m_{1}g=k_2\mathrm{\Delta }{x}_2$

当提木块到离开上面弹簧时， $m_{2}g=k_2\mathrm{\Delta }{x}_2^{\prime }$

所以对于下面的弹簧而言，是两次压缩。

$|F_1-F_2|=m_{1}g=k_2\mathrm{\Delta }x$

$\mathrm{\Delta }x=\frac{m_{1}g}{k_2}$

选 $C$

题 3

一根轻质弹簧一端固定，用大小为 $F_1$ 的力压弹簧的另一端，平衡时长度为 $l_1$；改用大小为 $F_2$ 的力拉弹簧，平衡时长度为 $l_2$，弹簧的拉伸或压缩均在弹性限度内，该弹簧的劲度系数为（）

$A.\frac{F_2-F_1}{l_2-l_1}$

$B.\frac{F_2+F_1}{l_2+l_1}$

$C.\frac{F_2+F_1}{l_2-l_1}$

$D.\frac{F_2-F_1}{l_2+l_1}$

解

$F_1=k(l-l_1)$

$F_2=k(l_2-l)$

$F_1+F_2=k(l_2-l_1)$

$k=\frac{F_1+F_2}{l_2-l_1}$

选 $C$

题 4

如图所示，两根轻弹簧 AC 和 BD，它们的劲度系数分别为 $k_1$ 和 $k_2$，它们的 C、D 端分别固定在质量为 m 的物体上，A、B 端分别固定在支架和正下方地面上，当物体 m 静止时，上方的弹簧处于原长；若将物体的质量变为 3m，仍在弹簧的弹性限度内，当物体再次静止时，其相对第一次静止时位置下降了（）

$A.mg\frac{k_1+k_2}{k_1{k}_2}$

$B.2mg\frac{k_1+k_2}{k_1{k}_2}$

$C.2mg\frac{1}{k_1+k_2}$

$D.mg\frac{1}{k_1{k}_2}$

解

法一（不用结论）

对于下面的弹簧 $\mathrm{\Delta }{x}_1=\frac{mg}{k_2}$

将物体质量变为 $3m$ 后，设相对第一次静止的位置下降了 $\mathrm{\Delta }x$

则满足平衡条件 $3mg=k_1\mathrm{\Delta }x+k_2(\mathrm{\Delta }x+\frac{mg}{k_2})$

解得 $\mathrm{\Delta }x=\frac{2mg}{k_1+k_2}$

法二（使用结论）

将物体质量变为 $3m$ 后，设相对第一次静止的位置下降了 $\mathrm{\Delta }x$，

又设此时下方的弹簧弹力为 $F_2$，上方的弹簧弹力为 $F_1$

则满足 $F_2-mg=k_2\mathrm{\Delta }x$（结论，两次压缩弹簧的结论）

$F_1=k_1\mathrm{\Delta }x$

$F_1+F_2=3mg$ （平衡条件）

解得 $\mathrm{\Delta }x=\frac{2mg}{k_1+k_2}$

选 $C$

题 5

三个木块 a、b、c 和两个劲度系数均为 500N/m 的相同轻弹簧 p、q 用轻绳连接如图，放在光滑水平桌面上，a、b 质量均为 1kg，c 的质量为 2kg，开始时 p 弹簧处于原长，木块都处于静止。现用水平力缓慢地向左拉 p 弹簧的左端，直到 c 木块刚好离开水平地面为止，g 取 10，该过程 p 弹簧的左端向左移动的距离是（）

$A.12cm$

$B.10cm$

$C.8cm$

$D.6cm$

解

根据结论，可以直接列出方程：

$mg+2mg=k\mathrm{\Delta }x$（$\mathrm{\Delta }x$ 为 q 弹簧压缩到拉伸的长度差 $F_1+F_2=k\mathrm{\Delta }x$）

又有 $\mathrm{\Delta }{x}_p=\frac{mg+2mg}{k}=\frac{30}{500}$

所以 $\frac{30+30}{500}=0.12$

选 A。