15 追及相遇图象问题

注意事项

追及相遇图像问题，一般考的是 v-t 图。因为 x-t 太简单了，线的交点即使相遇的点，根本不用分析。

v-t 图无法反映 d_0

图像从同一点出发只表示同时出发且初速度相同，不表示从同一地点出发。

图线交点表示此时共速，不表示相遇

题型

1、根据 v-t 图，判断相遇可能性。

2、根据 v-t 图，已知一次相遇的时刻，求另一次。

TIP

一般来将，这种 v-t 的追及相遇情况都属于“领先车潜力大，落后车速度快”的情况。这样它们相遇的次数可能性就有 3 种：0 次、1 次、2 次。

v-t 图判断相遇次数

v-t 图有个特点，非常容易看出来什么时候共速。交点就是共速点。

分析步骤：

1. 求出面积差 $\mathrm{\Delta }x=x_{\mathrm{领}}-x_{\mathrm{落}}$
2. 根据已知条件给的 $d_0$，用距离公式判断 $x=d_0+\mathrm{\Delta }x$

已知两次相遇，分析某一次

从第一次相遇开始到第二次相遇之间这段时间，两物体走过的距离相同（即距离相同）。

图线是两条直线且相交结论

如果 v-t 图的两条图线是直线且相交，且这两物体能相遇两次，

那么它们的交点时刻一定是两次相遇时刻的中点。

TIP

在两次相遇之间的时间内，它们共速时相互距离最远。

例题

题 1

甲乙两车在一平直道路上同向运动，其 v-t 图象如图所示。图中 $\mathrm{△}OPQ$ 和 $\mathrm{△}OQT$ 的面积分别为 $x_1$ 和 $x_2$（$x_2>x_1$）。初始时，甲车在乙车前方 $x_0$ 处，则下列说法正确的是（）

$A.\mathrm{若}{x}_0=x_1，\mathrm{两}\mathrm{车}\mathrm{相}\mathrm{遇}1\mathrm{次}$

$B.\mathrm{若}{x}_0<x_1，\mathrm{两}\mathrm{车}\mathrm{相}\mathrm{遇}2\mathrm{次}$

$C.\mathrm{若}{x}_0=x_2，\mathrm{两}\mathrm{车}\mathrm{相}\mathrm{遇}1\mathrm{次}$

$D.\mathrm{若}{x}_0=x_2，\mathrm{两}\mathrm{车}\mathrm{不}\mathrm{会}\mathrm{相}\mathrm{遇}$

解

在 T 时刻两车速度相等，此时

$x_{\mathrm{领}}=x_{\mathrm{甲}}=x_2$

$x_{\mathrm{落}}=x_{\mathrm{乙}}=x_1+x_2$

$x=x_0-x_1$

A，x=0，对。

B，x < 0，对。

C，x > 0，两车不会相遇。

D，对。

选 $ABD$

例 2

甲、乙两车在一平直道路上同向做匀加速直线运动，其 v-t 图像如图所示，图中 $\mathrm{△}OQT$ 和梯形 $OPQT$ 的面积分别为 $x_1$ 和 $x_2$。初始时，甲车在乙车前方 $x_0$ 处（）

$A.\mathrm{若}{x}_0=x_2-x_1，\mathrm{两}\mathrm{车}\mathrm{不}\mathrm{会}\mathrm{相}\mathrm{遇}$

$B.\mathrm{若}{x}_0<x_1，\mathrm{两}\mathrm{车}\mathrm{不}\mathrm{一}\mathrm{定}\mathrm{能}\mathrm{相}\mathrm{遇}$

$C.\mathrm{若}{x}_0=x_1，\mathrm{两}\mathrm{车}\mathrm{相}\mathrm{遇}1\mathrm{次}$

$D.\mathrm{若}{x}_0=x_2，\mathrm{两}\mathrm{车}\mathrm{不}\mathrm{会}\mathrm{相}\mathrm{遇}$

解

在 T 时刻两车速度相等，此时

$x_{\mathrm{领}}=x_{\mathrm{甲}}=x_1$

$x_{\mathrm{落}}=x_{\mathrm{乙}}=x_2$

$x=x_0+x_1-x_2$

A，x=0，遇 1 次。错。

B，对。

C，x>0，遇 0 次。错。

D，x> 0。对

选 $BD$

例 3

赛龙舟是端午节的传统活动。下列 v-t 和 s-t 图象描述了五条相同的龙舟从同一起点线同时出发、沿长直河道划向同一终点线的运动全过程，其中能反映龙舟甲与其它龙舟在途中出现船头并齐的有（）

解

A，甲的 a、v 已知大于乙，不可能相遇。

B，存在 $t_0$，使得甲围成面积等于丙围成面积。B 对。

x-t 中相交的点就是相遇的点。D 对。

$BD$

例 4

甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度 - 时间图象分别如图中甲、乙两条曲线所示，已知两车在 $t_2$ 时刻并排行驶，下列说法正确的是（）

$A.\mathrm{两}\mathrm{车}\mathrm{在}{t}_1\mathrm{时}\mathrm{刻}\mathrm{也}\mathrm{并}\mathrm{排}\mathrm{行}\mathrm{驶}$

$B.\mathrm{在}{t}_1\mathrm{时}\mathrm{刻}\mathrm{甲}\mathrm{车}\mathrm{在}\mathrm{后}，\mathrm{乙}\mathrm{车}\mathrm{在}\mathrm{前}$

$C.\mathrm{甲}\mathrm{车}\mathrm{的}\mathrm{加}\mathrm{速}\mathrm{度}\mathrm{大}\mathrm{小}\mathrm{先}\mathrm{增}\mathrm{大}\mathrm{后}\mathrm{减}\mathrm{小}$

$D.\mathrm{乙}\mathrm{车}\mathrm{的}\mathrm{加}\mathrm{速}\mathrm{度}\mathrm{大}\mathrm{小}\mathrm{先}\mathrm{减}\mathrm{小}\mathrm{后}\mathrm{增}\mathrm{大}$

解

从 $t_2$ 倒推回来，面积不相等。

所以 A 错，B 对。

甲、乙两车的加速度都是先减小后增大。

选 D。

$BD$

例 5

$a,b$ 两物体在同一直线上运动，二者运动的 v、t 图像均为直线。如图，已知两物体在 4s 末相遇。则关于它们在 0~4s 内的运动。下列说法正确的是（）

$A.a、b\mathrm{两}\mathrm{物}\mathrm{体}\mathrm{运}\mathrm{动}\mathrm{的}\mathrm{方}\mathrm{向}\mathrm{相}\mathrm{反}$

$B.a\mathrm{物}\mathrm{体}\mathrm{的}\mathrm{加}\mathrm{速}\mathrm{度}\mathrm{小}\mathrm{于}b\mathrm{物}\mathrm{体}\mathrm{的}\mathrm{加}\mathrm{速}\mathrm{度}$

$C.t=2s\mathrm{时}\mathrm{两}\mathrm{物}\mathrm{体}\mathrm{相}\mathrm{距}\mathrm{最}\mathrm{远}$

$D.t=0\mathrm{时}\mathrm{刻}，a\mathrm{在}b\mathrm{前}\mathrm{方}3m\mathrm{远}\mathrm{处}$

解

A，加速度相反，但速度并不相反。错。

B，$a_a=2,a_b=0.5$ B 错。

C 对。

D，两物体在 4s 末相遇，那么根据图象是两条直线且相交结论，第一次相遇为 0 s。D 错。即两物体从同一起跑线开跑。

$C$

例 6

甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t=0 时刻同时经过公路旁的同一个路标。在描述两车运动的 v-t 图象中（如图），直线 a、b 分别描述了甲、乙两车在 0~20s 的运动情况。关于两车之间的位置关系，下列说法正确的是（）

$A.\mathrm{在}010s\mathrm{内}\mathrm{两}\mathrm{车}\mathrm{逐}\mathrm{渐}\mathrm{靠}\mathrm{近}$

$B.\mathrm{在}1020s\mathrm{内}\mathrm{两}\mathrm{车}\mathrm{逐}\mathrm{渐}\mathrm{远}\mathrm{离}$

$C.\mathrm{在}515s\mathrm{内}\mathrm{两}\mathrm{车}\mathrm{的}\mathrm{位}\mathrm{移}\mathrm{相}\mathrm{等}$

$D.\mathrm{在}t=10s\mathrm{时}\mathrm{两}\mathrm{车}\mathrm{在}\mathrm{公}\mathrm{路}\mathrm{上}\mathrm{相}\mathrm{遇}$

解

A，应该是逐渐靠远。

B，应该是逐渐靠近。

C 对。

D，应该是在 20s 相遇。

例 7

a,b 两辆车在两条平直的车道上同方向行驶，它们的速度——时间图象如图所示。在 t=0 时刻，两车的距离为 d，t=5s 的时刻它们第一次相遇，关于两辆车之间的关系，下列说法正确的是（）

$A.t=15s\mathrm{时}\mathrm{刻}\mathrm{两}\mathrm{车}\mathrm{第}\mathrm{二}\mathrm{次}\mathrm{相}\mathrm{遇}$

$B.t=20s\mathrm{时}\mathrm{刻}\mathrm{两}\mathrm{车}\mathrm{第}\mathrm{二}\mathrm{次}\mathrm{相}\mathrm{遇}$

$C.t=10s\mathrm{时}\mathrm{刻}\mathrm{相}\mathrm{距}\frac{d}{3}$

$D.5s-15s\mathrm{时}\mathrm{间}\mathrm{内}，\mathrm{先}\mathrm{是}a\mathrm{在}\mathrm{前}，\mathrm{后}\mathrm{是}b\mathrm{在}\mathrm{前}$

解

A，根据结论，正确。

B，错误。

C，$x_5=0=d+x_b-x_a$

所以得到 $x_a-x_b=d$，找到图中 $x_a-x_b$ 对应的面积，然后可以得出 5~10s 两车的距离差为多少。为 $\frac{d}{3}$

D，5s~15s 属于两次相遇之间的过程，此时都是 a 领先，b 落后。

$AC$

例 8

如图所示为甲、乙两球同向运动的 v-t 图象，甲球从静止出发，乙球以某一初速度运动，在 t=3s 时两球恰好相遇，则（）

$A.\mathrm{甲}、\mathrm{乙}\mathrm{两}\mathrm{球}\mathrm{从}\mathrm{同}\mathrm{一}\mathrm{地}\mathrm{点}\mathrm{出}\mathrm{发}，\mathrm{且}\mathrm{在}t=2s\mathrm{时}\mathrm{两}\mathrm{球}\mathrm{相}\mathrm{距}\mathrm{最}\mathrm{近}$

$B.\mathrm{在}t=1s\mathrm{时}\mathrm{乙}\mathrm{球}\mathrm{在}\mathrm{前}，\mathrm{甲}\mathrm{球}\mathrm{在}\mathrm{后}$

$C.\mathrm{在}t=2s\mathrm{时}\mathrm{乙}\mathrm{球}\mathrm{在}\mathrm{前}，\mathrm{甲}\mathrm{球}\mathrm{在}\mathrm{后}$

$D.\mathrm{在}t=0\mathrm{时}，\mathrm{甲}、\mathrm{乙}\mathrm{两}\mathrm{球}\mathrm{相}\mathrm{距}2.25m$

解

A，甲乙不是从同一地点出发，t=2s 相距最远

B，t=1 时相遇

C，对。

D，根据 $x_5=0=d+x_{\mathrm{领}}-x_{\mathrm{落}}$

$d$ 就等于 0~5s 内的面积差。

所以选 $CD$

例 9

甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其 v-t 图像如图所示。已知两车在 t=3s 时并排行驶，则（）

$A.\mathrm{在}t=1s\mathrm{时}，\mathrm{甲}\mathrm{车}\mathrm{在}\mathrm{乙}\mathrm{车}\mathrm{后}$

$B.\mathrm{在}t=0\mathrm{时}，\mathrm{甲}\mathrm{车}\mathrm{在}\mathrm{乙}\mathrm{车}\mathrm{前}7.5m$

$C.\mathrm{两}\mathrm{车}\mathrm{另}\mathrm{一}\mathrm{次}\mathrm{并}\mathrm{排}\mathrm{行}\mathrm{驶}\mathrm{的}\mathrm{时}\mathrm{刻}\mathrm{是}t=2s$

$D.\mathrm{甲}、\mathrm{乙}\mathrm{两}\mathrm{车}\mathrm{两}\mathrm{次}\mathrm{并}\mathrm{排}\mathrm{行}\mathrm{驶}\mathrm{的}\mathrm{位}\mathrm{置}\mathrm{之}\mathrm{间}\mathrm{沿}\mathrm{公}\mathrm{路}\mathrm{方}\mathrm{向}\mathrm{的}\mathrm{距}\mathrm{离}\mathrm{为}40m$

解

A 错。t=1s 时甲乙相遇。

B 对。

C 错。

D 对。

$x_1=0=d+x_{\mathrm{领}}-x_{\mathrm{落}}$

$d=x_{\mathrm{落}}-x_{\mathrm{领}}$

$=\frac{3}{4}\times \frac{1}{2}\times 10\times 2=\frac{30}{4}=7.5m$

选 $BD$