12 竖直上抛 - 进阶篇

题型特征

这章节主要讲解“竖直上抛，两次经过同一点”这类题。

如这道题：

以 10m/s 的初速度从地面竖直上抛一石子，该石子两次经过小树顶端的时间间隔为 1.2s，则小树高约为（）

$A.1.2m$

$B.2.4m$

$C.3.2m$

$D.4.2m$

解

下解。

对称性

两次经过同一点 A 时，

具有速度对称性：$v_{\mathrm{上}}、v_{\mathrm{下}}$ 大小相同

具有时间对称性：$t_{\mathrm{上}}=t_{\mathrm{下}}$

解题思路

画图，转化成“自由落体高度差问题”，从时间入手。

例题

题 1

以 10m/s 的初速度从地面竖直上抛一石子，该石子两次经过小树顶端的时间间隔为 1.2s，则小树高约为（）

$A.1.2m$

$B.2.4m$

$C.3.2m$

$D.4.2m$

解

$t_1=\frac{v}{g}=1s$

利用对称性，得

$t_2=0.6s$

所以 $\mathrm{\Delta }x=\frac{1}{2}g{t}_1^2-\frac{1}{2}g{t}_2^2$

$=5\times 1-5\times 0.36$

$=3.2m$

选 $C$

题 2

某物体以 30m/s 的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g 取 10。若运动过程中两次经过 A 点所用的时间间隔为 2s，两次经过 B 点所用的时间间隔为 4s，求 A、B 两点的高度差。

解

$\mathrm{\Delta }x=1\text{ove}2g{t}_B^2-\frac{1}{2}g{t}_A^2$

$=15m$

题 3

从地面将一个小球竖直上抛，经 t 时间小球经过空中的某点 A，再经过 t 时间小球又经过 A 点。不计空气阻力，下列说法正确的是（）

$A.\mathrm{小}\mathrm{球}\mathrm{上}\mathrm{升}\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{高}\mathrm{度}\mathrm{为}\frac{3}{2}g{t}^2$

$B.A\mathrm{点}\mathrm{相}\mathrm{对}\mathrm{于}\mathrm{抛}\mathrm{出}\mathrm{点}\mathrm{的}\mathrm{高}\mathrm{度}\mathrm{为}\frac{1}{2}g{t}^2$

$C.\mathrm{小}\mathrm{球}\mathrm{抛}\mathrm{出}\mathrm{时}\mathrm{的}\mathrm{速}\mathrm{率}\mathrm{为}2gt$

$D.\mathrm{小}\mathrm{球}\mathrm{抛}\mathrm{出}\mathrm{时}\mathrm{的}\mathrm{速}\mathrm{率}\mathrm{为}\frac{3}{2}gt$

解

$h_{max}=\frac{1}{2}g(\frac{3}{2}t{)}^2$

$=\frac{9}{8}g{t}^2$

$h_1=\frac{1}{2}g\frac{t^2}{4}$

$=\frac{g{t}^2}{8}$

$h_A=g{t}^2$

$v=g\frac{3}{2}t$

所以选 $D$

题 4

将一个物体在 t=0 时刻以一定的初速度竖直向上抛出（不计空气阻力），$t=0.5s$ 时物体的速度大小变为 $5m/s$（g 取 10m/s^2），则下列说法正确的是（）

$A.t=0.5s\mathrm{时}\mathrm{物}\mathrm{体}\mathrm{的}\mathrm{运}\mathrm{动}\mathrm{方}\mathrm{向}\mathrm{可}\mathrm{能}\mathrm{竖}\mathrm{直}\mathrm{向}\mathrm{下}$

$B.\mathrm{物}\mathrm{体}\mathrm{一}\mathrm{定}\mathrm{是}\mathrm{在}t=1.6s\mathrm{时}\mathrm{回}\mathrm{到}\mathrm{抛}\mathrm{出}\mathrm{点}$

$C.\mathrm{物}\mathrm{体}\mathrm{的}\mathrm{初}\mathrm{速}\mathrm{度}\mathrm{一}\mathrm{定}\mathrm{是}10m/s$

$D.t=1.0s\mathrm{时}\mathrm{上}\mathrm{升}\mathrm{到}\mathrm{最}\mathrm{高}\mathrm{点}$

解

如果方向竖直向下，那么

$-5=v_0-10\times 0.5$

$v_0=0$，不符题意。

所以方向只能竖直向上。

$5=v_0-10\times 0.5$

$v_0=10m/s$

$t_1=\frac{v_0}{g}=1s$

$t_{\mathrm{总}}=2s$

所以 $CD$ 对。