18 打点计时器 - 纸带分析

试验目的

探究小车在重物牵引下速度随时间变化的规律。

试验原理

1. 做出 v-t 图
2. 根据 v-t 图线判断运动模式
3. 根据 v-t 图求出加速度

试验步骤

1. 水平放置长木板，将小车停在靠近打点计时器的位置
2. 先启动计时器，再放开小车，让它拖着纸带运动
3. 打点计时器在纸带上打下一行小点，随后立即关闭电源
4. 增减所挂的槽码，更换纸带，再做两次试验

数据处理

1. 舍掉开始过于密集（不清晰）的点，选择一个适当的点作为计时起点
2. 选择相邻 0.1s 的计数点，测量每两个点之间的距离
3. 利用该点前后两计数点间的平均速度代替该点的瞬时速度，填入表格中的“v_1”行
4. 更换纸带，重复上述步骤，填入表格中的“v_2”和“v_3”行

1. 将瞬时速度在 v-t 图描点
2. 画一条直线，让这条直线通过尽可能多的点，不在直线上的点均匀分布在直线两侧，误差较大的点忽略不计
3. 求出直线斜率，即为加速度

考点

1 打点计时器

打点计时器一共有 2 种。

电磁打点计时器只需要 4-6v 的低压电源，它会驱动一个磁头，将点打在纸带上。

而电火花打点计时器需要 220v 的高压电源，它产生电火花在纸带上滋出点。

如果只有低压电源，那只能选择电磁打点计时器。否则选择电火花打点计时器。因为电磁计时器会与纸带接触摩擦，影响试验结果。

并且这两个都要选择交流电。

打点频率=交流电频率。通常频率为 50Hz，即两点时间间隔为 0.02s。

2 需要的器材

不需要计时工具，比如不需要秒表。

电源一定要选交流电。

刻度尺必选。

3 启动小车、计时器顺序

必须先启动打点计时器，再放开小车。

目的是节约纸带、多打点。

4 时间间隔

如出现关键词“相邻两点间有 4 个点未画出”，则时间间隔取 5T。

5 哪头连接小车

连小车的一头先打点。

点密集的一头先打点。

点密集的一头连小车。

6 根据纸带算某点瞬时速度

使用均速法算瞬时速度。

$v_{n\mathrm{点}}=\frac{n\mathrm{的}\mathrm{左}\mathrm{右}\mathrm{两}\mathrm{相}\mathrm{邻}\mathrm{点}\mathrm{之}\mathrm{间}\mathrm{的}\mathrm{距}\mathrm{离}}{2T}$

均速法

一段时间，它的平均速度就等于它的中间时刻的瞬时速度。

比如 $v_B=\frac{x_2+x_3}{2T}$，

注意不能这样算 $v_B=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4T}$，这样会导致偏差较大。

7 根据纸带算加速度

法一（只用一组数据求 a，结果不精确）

$x_2-x_1=a{T}^2$

法二（使用相邻位移多次求 a 取平均值，有些被约掉）

$a_1=\frac{x_2-x_1}{T^2}$

$a_2=\frac{x_3-x_2}{T^2}$

$a_3=\frac{x_4-x_3}{T^2}$

$a=\frac{a_1+a_2+a_3}{3}=\frac{x_4-x_1}{3T}$

这样算发现还是只用到了两组数据，其他数据被消掉了。

法三（逐差法）可以，精确度较高，但较麻烦，需要写很多

$x_3-x_1=2a_1{T}^2$

$x_4-x_2=2a_2{T}^2$

$a_1=\frac{x_3-x_1}{2T^2}$

$a_2=\frac{x_4-x_2}{2T^2}$

$a=\frac{a_1+a_2}{2}=\frac{x_4+x_3-(x_1+x_2)}{4T^2}$

如果纸带是奇数段

那么舍去第一段或中间一段即可。

比如舍弃中间一段，那么任然使用逐差法计算。

$x_5-x_2=3a{T}^2$

$x_4-x_1=3a{T}^2$

$a=\frac{x_4+x_5-x_1-x_2}{3T^2}$

8 实际频率偏大或偏小

1、$v_n=\frac{n\mathrm{点}\mathrm{的}\mathrm{左}\mathrm{右}\mathrm{两}\mathrm{相}\mathrm{邻}\mathrm{点}\mathrm{之}\mathrm{间}\mathrm{距}\mathrm{离}}{2T}$

2,$\mathrm{\Delta }x=a(nT{)}^2,a=\frac{\mathrm{\Delta }x}{(nT{)}^2}$

例如，假如实际频率偏大，那么实际的 T 偏小，那么实际的 a 偏大。

所以算出的 a、v 均比真实值小，均偏小。

例题

题 1

在“测定匀加速直线运动的加速度”实验中，得到一条纸带如图，纸带上的 A、B、C、D、E 是连续的计数点（每两个相邻的计数点之间有四个打点没有画出），打点计时器接在频率为 50Hz 的低压交流电源上，测得 $AB=3.00cm,BC=4.20cm,CD=5.40cm,DE=6.60cm$，则

（1）相邻的计数点的时间间隔为____s

（2）在打点计时器打下 B 点时，小车的速度 $v_B=\underset{―}{}m/s$

（3）小车做匀变速直线运动的加速度 $a=\underset{―}{}m/s^2$

Hz 是什么意思？

即每秒的周期次数 (周期/秒)。

解

（1）0.1s

（2）$v_B=\frac{7.2\times {10}^{-2}}{0.2}=36\times {10}^{-2}=0.36m/s$

（3）

$a=\frac{(5.4+6.6-7.20)\times {10}^{-2}}{4\times T^2}$

$=\frac{4.80\times {10}^{-2}}{0.04}$

$=120\times {10}^{-2}$

$=1.20m/s^2$

题 2

图示为一次试验得到的一条纸带，纸带上每相邻的两计数点间都有四个点未画出，（假设频率为 50Hz）按时间顺序取 0,1,2,3,4,5,6 七个计数点，测出 1,2,3,4,5,6 点到 0 点的距离如图所示（单位：cm）。由纸带数据计算可得计数点 4 所代表时刻的即时速度大小___m/s，小车的加速度大小 a=____。（保留两位有效数字）

TIP

保留几位小数：从小数点后面取几位

保留几位有效数字：从第一个非 0 数字往后数

解

$v_4=\frac{(14.55-6.45)\times {10}^{-2}}{0.2}$

$=\frac{8.10\times {10}^{-2}}{0.2}$

$=40.5\times {10}^{-2}$

$=0.405m/s$

$19.7-6.45-6.45=a(3T{)}^2$

$6.8=9\times 0.01a$

$9a=680$

$a=75.5$

$a=0.76m/s^2$

题 3

（1）某同学要进行探究匀变速直线运动试验，请在下面列出的试验器材中，选出本实验中不需要的器材填在横线上（填编号）：_____.

1. 打点计时器
2. 天平
3. 低压交流电源
4. 低压直流电源
5. 细绳和纸带
6. 钩码和小车
7. 秒表
8. 一端有滑轮的长木板
9. 刻度尺

（2）把纸带的下端固定在重物上，上端用手提着，纸带穿过打点计时器，接通电源后将纸带释放，重物便拉着纸带下落，纸带被打出一系列点，其中有一段如下如，纸带的哪端与重物相连？____。（填左端或右端）

（3）A,B,C,D,E 为纸带上所选的计数点，相邻计数点间时间间隔为 $0.1s$，则 $v_B=$ ______ $m/s$，$a=$_______$m/s^2$.

（4）家庭低压交流电源的频率是 50Hz，由于试验过程中电源不稳定，频率变为小于 50Hz，如果实验者在测定匀变速直线运动的加速度时不知道，这样计算出的加速度值与真实值相比_____。（填“偏大”、“偏小”或“不变”）

解

（1）

并不需要天平。我们改变钩码的重量，但是并不需要知道具体的重量变化。

$2,4,7$

（2）

点密集的一端为小车连接纸带的地方。

左端。

（3）

$v_B=\frac{52\times {10}^{-3}}{0.2}=260\times {10}^{-3}=0.26m/s$

$a=\frac{(120-52-52)\times {10}^{-3}}{4\times 0.01}$

$=\frac{16\times {10}^{-3}}{0.04}=400\times {10}^{-3}=0.40$（虽然题目每说保留多少位小数，但与其他数字保持一致）

（4）

真实频率小，

真实 T 大，

真实 $a=\frac{\mathrm{\Delta }x}{T^2}$ 偏小，

所以答案是偏大。

题 4

用打点计时器打出下落物体带动的纸带如图所示。电源的频率为 50Hz，从纸带上中间部分取出连续的 6 计时点 $A,B,C,D,E,F$，用米尺测出 A、B 两点间距 $S_1=4.08cm$，E、F 两点间距离 $S_2=5.64cm$，试写出用 $S_1,S_2$ 和相邻两点间时间间隔 T 计算重力加速度的公式 $g=$____，代入数据求出 $g=$_____。

解

$S_2-S_1=4a\times (0.02{)}^2=(5.64-4.08)\times {10}^{-2}$

$4a\times 4\times {10}^{-4}=1.56\times {10}^{-2}$

$a=9.75m/s^2$