函数的对称性与周期性

求函数的轴对称点或对称中心

若 $f(x)$ 满足 $f(a+x)=f(b-x)$，即函数值相等，自变量满足相加等于一个常数 $\frac{x_1+x_2}{2}=C$，那么则说明 $f(x)$ 关于直线 $x=\frac{a+b}{2}$ 轴对称。用图来表示：

若 $f(x)$ 满足 $f(a+x)+f(a-x)=3$，即函数值相加等于一个常数，说明 $f(x)$ 关于点 $(\frac{2a}{2},\frac{3}{2})$ 中心对称。用图来表示：

求对称中心公式

若给出 $f(x)+f(2a-x)=2b$，那么对称中心为 $(a,b)$。

即

• 对称中心的横坐标：两个自变量相加除以 2
• 对称中心的纵坐标：两个函数值相加除以 2

运用极限法求函数的对称中心

1. $f(x)=\frac{3e^x+1}{e^x+1}$
2. $f(x)=\frac{2}{e^x+1}$

对于函数 1，假设对称中心为 $(a,b)$

$x\to +\mathrm{\infty },f(x)\to 3$

$x\to -\mathrm{\infty },f(x)\to 1$

那么 $b=\frac{3+1}{2}=2$

当 $f(x)=b=2,x=a=0$

所以 $(0,2)$ 是 $f(x)$ 的对称中心。

对于函数 2，假设对称中心为 $(a,b)$

$x\to +\mathrm{\infty },f(x)\to 0$

$x\to -\mathrm{\infty },f(x)\to 2$

所以 $b=\frac{0+2}{2}=1$

当 $f(x)=b=1,x=a=0$

所以 $(0,1)$ 是 $f(x)$ 的对称中心。

函数的对称性

假设有一个表达式，

$f(x+a)=f(b-x)$，我们可以这样理解：

有一个根横线与函数相交，且两个交点的横坐标为 $x_1=x+a$ 和 $x_2=b-x$，

且这两个横坐标有如下关系：$x_1+x_2=b+a$ 是一个常数！

这就可以反推出 $f(x)$ 是一个关于 $\frac{a+b}{2}$ 对称的轴对称函数。

如下例题：

TIP

小心题目问的什么，以及我们求的到底是什么。

解

因为 $f(1-x)+f(3+x)$ 是一个常数 0，且 $x_1+x_2=1+3=4$，所以我们可以推出函数 $f(x)$ 关于点 $(2,0)$ 中心对称。

但注意题目问的是 $f(x+2)$ 的图像！！

$f(x)$ 经过左平移 2 个单位得到 $f(x+2)$，所以 $f(x+2)$ 关于点 $(0,0)$ 中心对称。

$D$

函数的周期性

对称性与周期性的区别点

函数的对称性与周期性的区别点在于，

对称性：括号里的 $x$ 系数互为相反数。

周期性：括号里的 $x$ 系数相同。

迭代法求周期的多种表达形式

情况一、

$f(x+a)=f(x)$，则 $T=a$

情况二、

$f(x+a)=-f(x)$

$f(x+2a)=-f(x+a)=f(x)$

所以 $T=2a$

情况三、

$f(x+a)=\frac{k}{f(x)}$

$f(x+2a)=\frac{k}{f(x+a)}=\frac{k}{\frac{k}{f(x)}}=f(x)$

所以 $T=2a$

情况四、

$f(x+1)=f(x)-f(x-1)$

$f(x+2)=f(x+1)-f(x)=f(x)-f(x-1)-f(x)=-f(x-1)$

$f(x+3)=-f(x)$

所以 根据 $f(x+a)=-f(x)$ 的周期为 2a，得出

原式的周期为 $3\times 2=6$

拓展总结

已知 $a>0$

（1）$f(x\pm a)=f(x),T=a$

（2）$f(x\pm a)=-f(x),T=2a$

（3）$f(x+a)=f(x-a),T=2a;f(x+a)=f(x-b),\mathrm{当}b>0\mathrm{时}，T=a+b$

（4）$f(x\pm a)=\frac{k}{f(x)}(k\ne 0),T=2a;f(x\pm a)=-\frac{k}{f(x)},T=2a$

（5）$f(x+a)=\frac{1-f(x)}{1+f(x)},T=2a;f(x+a)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)},T=4a$

（6）若函数 $y=f(x)$ 的周期为 $T(T>0)$，则函数 $F(x)=f(ax+b)$ 的周期为 $\frac{T}{a}$

构造函数

复杂表达式暗示单调性。

我们都知道 $(x_1-x_2)(f(x_1)-f(x_2))>0$ 表示单调递增的函数，那么以下式子呢？

解释

解抽象不等式

解决办法：脱衣服

例题

01

TIP

小心题目问的什么，以及我们求的到底是什么。

解

因为 $f(1-x)+f(3+x)$ 是一个常数 0，且 $x_1+x_2=1+3=4$，所以我们可以推出函数 $f(x)$ 关于点 $(2,0)$ 中心对称。

但注意题目问的是 $f(x+2)$ 的图像！！

$f(x)$ 经过左平移 2 个单位得到 $f(x+2)$，所以 $f(x+2)$ 关于点 $(0,0)$ 中心对称。

$D$

02

解

对称中心为 $(\frac{4}{2},\frac{0}{2})=(2,0)$。

n 可以为任何数。若为奇数，一定有一个交点在对称中心处；若为偶数，则对称中心处一定没有交点。

每一对 $x_1+x_n=2a,x_2+x_{n-1}=2a$ 相加都等于 $2a$，共有 $\frac{n}{2}$ 对，所以 和为 $\frac{n}{2}\cdot 2a=na$

我们可以发现这样的规律：有几个对称点，$x_1+x_2+x_3+x_4+...+x_n$ 就等于 $na(a=\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{中}\mathrm{心}\mathrm{点}\mathrm{的}\mathrm{横}\mathrm{坐}\mathrm{标})$（偶数、奇数个对称点都适用）

同理，$y_1+y_2+y_3+...+y_n=nb(b=\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{中}\mathrm{心}\mathrm{点}\mathrm{的}\mathrm{纵}\mathrm{坐}\mathrm{标})$

选 B。

题 1

解

$T=6,f(x+6)=f(x),f(2024)=f(2)$

$f(2)=-f(-1)=-2$

$C$

题 2

解

令 $y=1$，则

$f(x+1)+f(x-1)=f(x)$

$f(x+2)+f(x)=f(x+1)=f(x)-f(x-1)$

$f(x+2)=-f(x-1)$

$f(x+3)=-f(x)$

所以 $T=6$

令 $x=1,y=0$

则 $f(1)+f(1)=f(1)f(0),(f(1)\ne 0)$

$f(0)=2$

又因为 $f(x+1)=f(x)-f(x-1)$，这个式子的含义是一个点的横坐标，等于前面两个点的横坐标相减。

所以 $f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1$

$f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2$

$f(4)=f(3)-f(2)=-2-(-1)=-1$

而 $f(1)+f(2)+...+f(21)+f(22)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)$

$=1+-1-2-1=-3$

题 3

解

03

解