10 考点 - 隔板法 (中档)

有一类问题，总是问一些相同的元素，然后将它们放入不同的集合中，问你有多少种放法。

这一类问题基本上都是使用隔板法。

例如，

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例题 1

TIP

隔板法使用的前提一般是放入每个袋子中的元素不能为零。

例题 2

TIP

如果遇到非负整数解，那么可以先将非负整数转换为正整数。

TIP

看到这题的时候，可能会想能不能假想多加两个数放在左右两边，这两个数代表零。

其实是不行的。因为这样的话只有 $x_1$ 才能取到 $0$，那万一 $x_2,x_3,x_4$ 要取 $0$ 呢？就做不到会少解。

所以正确的办法是将非负整数解转换为正整数解。

例题 3

解：

分类。

1，若 $2x_1=0$

则 $x_2+x_3+...+x_{10}=3$

$Y_2+Y_3+...+Y_{10}=12$

$C_{11}^8=C_{11}^3=\frac{11\times 10\times 9}{3\times 2}=165$

2，若 $2x_1=2$

则 $x_2+x_3+...+x_{10}=1$

$Y_2+Y_3+...+Y_{10}=10$

$C_9^8=C_9^1=9$

总共有 $165+9=174$ 种。

例题 4

解：

$x_1+x_2+x_3=8$

$Y_1+Y_2+Y_3=11$

$C_1{0}^2=45$

例题 5

解：

先用小球把每个盒子的最低要求数满足，然后剩下的小球再看怎么放。

还剩 $12-(1+2+3+4)=2$ 个小球。

问题转化为 $x_1+x_2+x_3+x_4=2$，求非负整数解的组数。

$Y_1+Y_2+Y_3+Y_4=6$

有 5 个隔板，需要分成 4 组。即需要从 5 个隔板种选择 3 个隔板。

$C_5^3=C_5^2=\frac{5\times 4}{1\times 2}=10$