09 考点 - 捆绑法与插空法 (基础)

我们在做一些站队的相邻，不相邻的问题的时候，基本上都会使用到捆绑法与插空法。

相邻条件使用捆绑法，不相邻条件使用插空法。

例题 1

解：

（1）

先让甲同学站，从 5 个位置中选一个，然后其他同学随便站。

$C_5^1{A}_5^5=5\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=600$

(2)

先让另外三名同学站好。然后甲乙丙再站在这些同学的旁边。

<!-- x 代表已经站了人。0 代表 可以站人 -->
oxoxoxo

$A_3^3{A}_4^3=3\times 2\times 1\times 4\times 3\times 2=144$

(3)

需要分情况。

1，若甲丙相邻，可以把他们捆绑成一个整体。再利用插空法，

$A_2^2{A}_3^3{A}_4^2=2\times 3\times 2\times 4\times 3=144$

2，若甲丙不相邻，那么答案就会问题一的答案。

$A_3^3{A}_4^3=144$

所以公共有 $144+144=288$ 种站法。

（4）

利用捆绑法，得

$A_2^2{A}_2^2{A}_4^4=2\times 2\times 4\times 3\times 2\times 1=96$

(5)

1，甲如果站在最右端。

$A_5^5=5\times 4\times 3\times 2=120$

2，甲如果不站在最右端。

$C_4^1{C}_4^1{A}_4^4=4\times 4\times 4\times 3\times 2=384$

所以总共有 $504$ 种。

例题 2

解：

<!-- x 代表没开的灯。o 代表开着的灯 -->
    x   x   x   x   x
o     o   o   o   o     o

利用捆绑法。

因为路灯它是不需要交换顺序的，所以

先从 6 个坑位中选 4 个，$C_6^4$

4 个中有一个是连着的两盏灯。它在不同位置代表不同的开灯方式，所以要乘 $C_4^1$

答案为 $C_6^4\times C_4^1$.

TIP

千万不要写成 $C_6^4\times A_4^4$。

因为我们只看开灯方式，两盏亮着的路灯交换位置，并不影响开灯方式。只有那两个连着的作为一个整体的路灯，才会影响开灯方式。