总结

例题

例题 1

一个袋子中装有 6 个黑球，2 个白球，它们除颜色外完全相同。现每次从袋中不放回地随机取出一个球，直到 2 个白球都被取出为止。以 X 表示袋中还剩下的黑球的个数。

（1）记事件 A 表示“第 k 次取出的时白球”，k=1，2，，，，8。求 $P(A_5|A_2)$

（2）求 X 的分布列和数学期望。

思考

这题想要通过 $\frac{n(A)}{n(\mathrm{\Omega })}$ 事件发生数除以总数这种方法求概率好像行不同。只能通过概率计算。

解：

（1）

$P(A_2)=\frac{6}{8}\times \frac{2}{7}+\frac{2}{8}\times \frac{1}{7}=\frac{1}{4}$

$P(A_2{A}_5)=\frac{6}{8}\times \frac{2}{7}\times \frac{5}{6}\times \frac{4}{5}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{28}$

$P(A_5|A_2)=\frac{P(A_5{A}_2)}{P(A_2)}=\frac{1}{7}$

（2）

$P(X=0)=7\times \frac{6}{8}\times \frac{5}{7}\times \frac{4}{6}\times \frac{3}{5}\times \frac{2}{4}\times \frac{1}{3}=\frac{2}{56}=\frac{7}{28}$

$P(X=1)=6\times \frac{6}{8}\times \frac{5}{7}\times \frac{4}{6}\times \frac{3}{5}\times \frac{2}{4}\times \frac{2}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{6}{28}$

$P(X=2)=5\times \frac{6}{8}\times \frac{5}{7}\times \frac{4}{6}\times \frac{3}{5}\times \frac{2}{4}\times \frac{1}{3}=\frac{5}{28}$

$...$

$...$

$P(X=6)=\frac{1}{28}$

将所有概率相加进行验算，发现等于 1，说明大概率正确。

画分布列：

X	0	1	2	3	4	5	6
P	$\frac{7}{28}$	$\frac{6}{28}$	$\frac{5}{28}$	$\frac{4}{28}$	$\frac{3}{28}$	$\frac{2}{28}$	$\frac{1}{28}$

$E(P)=\frac{6+10+12+12+10+6}{28}=\frac{40}{20}=2$