10 考点 - 复合函数的求导问题 (基础)

例题 1

设 $a\in R$，函数 $f(x)=e^x+a\cdot e^{-x}$ 的导函数是 $f^{\prime }(x)$，且 $f^{\prime }(x)$ 是奇函数，若曲线 $y=f(x)$ 的一条切线的斜率是 $\frac{3}{2}$ 的一条切线的斜率是 $\frac{3}{2}$，则切点的横坐标为（）。

解：

$ln2$

$f^{\prime }(x)=e^x-a{e}^{-x}$

$0=1-a$

$a=1$

$f^{\prime }(x)=e^x-e^{-x}=\frac{3}{2}$

$t=e^x$

$2t^2-3t-2=0$

$t=-\frac{1}{2}\mathrm{或}2$

所以 $x=ln2$

例题 2

设 $f(x)=ln\sqrt{x^2+1}$，则 $f^{\prime }(2)=()$

解：

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\cdot \frac{1}{2}(x^2+1{)}^{-\frac{1}{2}}\cdot 2x$

例题 3

设 $f_0(x)=sin2x+cos2x,f_1(x)=f_0^{\prime }(x),f_2(x)=f_1^{\prime }(x),...,f_{1+n}(x)=f_n^{\prime }(x)，n\in N^{\ast }$，则 $f_{2013}(x)=$____.

解：

利用周期性，求解。