09 等差等比数列的和与通项公式的特殊关系 (中档)

背景

有的时候在等差数列、等比数列的题目里，要求和的用求和公式有点累。 有没有一些额外的好学的方法呢？

说说

等差数列

$\frac{S_n}{n}=a_1+\frac{n-1}{2}d=a_1+(n-1)\frac{d}{2}$

所以 $\frac{S_n}{n}$ 是一个等差数列。

还有一个常考规律：

比如有 $a_1,a_2,a_3,...,a_4,a_5,a_6,...,a_{n-2},a_{n-1},a_n$ 等差数列，那么

$\{a_1,a_2,a_3\},\{a_4,a_5,a_6\},\{a_{n-2},a_{n-1},a_n\}$ 构成的数列还是等差数列。

即是说相邻任意项组成一个新的数列，还是一个等差数列。怎么用数学表示出来呢？

$\{a_1,a_2,a_3\}$ 可以表示为 $b_1=S_3$，

${a_4, a_5, a_6 } 可以表示为 $b_2=S_6-S_3$

$\{a_{n-2},a_{n-1},a_n\}$ 可以表示为 $b_n=S_{3(n-1),3n}$

如果是相邻 m 项的和呢？

$S_m,S_{2m}-S_m,S_{3m}-S_{2m}$. 它的公差是多少呢？因为每一项都比前面的一项多一个 $d$，所以公差为 $m^{2}d$

没相邻 $m$ 项互为等差数列。

等比数列

同样以每三项之和为例。

比如有 $a_1,a_2,a_3,...,a_4,a_5,a_6,...,a_{n-2},a_{n-1},a_n$ 等比数列，那么

$\{a_1,a_2,a_3\}$ 可以表示为 $b_1=S_3$，

${a_4, a_5, a_6 } 可以表示为 $b_2=a_1{q}^3+a_2{q}^3+a^3{q}^3=q^3(a_1+a_2+a_3)S_6-S_3$

....

...

所以 $S_m,S_{2m}-S_m,...$ 是一个公比为 $q^m$ 的等比数列。

例题 1

两个等差数列的前 $n$ 项的和比 $\frac{9n+2}{n+7}$，则它们的第六项相应的比为（）

解：

$\frac{S_n}{n}=a_1+(n-1)\frac{d}{2}$

$\frac{S_n}{T_n}=\frac{a_1+(n-1)\frac{d}{2}}{b_1+(n-1)\frac{e}{2}}=\frac{9n+2}{n+7}$

等 $n=11$ 时，

$\frac{S_n}{T_n}=\frac{a_1+5d}{b_1+5e}=\frac{a_6}{b_6}=\frac{9\times 11+2}{11+7}=\frac{101}{18}$

例题 2

已知等差数列 $a_n$ 的前 n 项和记为 $S_n,S_{10}=10,S_{30}=70$，则 $S_{40} = $ ___

解：

记错了！

$S_{10},S_{20},S_{30}...$ 构成等比数列。

$S_{30}-S_{10}=2d=60$

所以 $d=30$

$S_{40}=70+30=100$

这题做错完全概念没弄清楚！没理解对！

$S_{10},S_{20}-S_{10},S_{30}-S_{20}...$ 构成等比数列。

最终 $120$。

例题 3

已知等比数列 $a_n$ 的前 n 项和为 $S_n$，且 $S_5=4,S_{10}=10$，则 $S_{15}=()$

解：

由题意得，$S_5,S_{10}-S_5,S_{15}-S_{10}$ 成等比数列。

假设它们分别为 $b_1,b_2,b_3$，则 $b_1=4,b_2=6$。

由等比中项公式得，设 $b_3=x$

则 $4x=6^2$，所以 $b_3=9=S_{15}-S_{10}$

$S_{15}=9+10=19$

例题 4

已知 $\{a_n\}$ 是各项都为正数的等比数列，$S_n$ 是它的前 n 项和，若 $S_4=6$，$S_8=18$，则 $S_{12}=$（）

解：

$S_4,S_8-S_4,S_{12}-S_8$ 成等比数列。

$b_1=6,b_2=12,b_3=x$

$144=6x$

$x=24=S_{12}-18$

$S_{12}=24+18=42$