07 累乘法题型一网打尽 (中档)

以等比数列为例

$$\begin{gathered} a_n=q{a}_{n-1} \\ {a}_{n-1}=q{a}_{n-2} \\ ... \\ ... \\ {a}_2=q{a}_1 \end{gathered}$$

所以 $a_n=q^{n-1}{a}_1$

累乘法

类似等比数列形式的题，都可以使用累乘法。

例子：

如有 $a_n=2n\cdot 5^{n-1}{a}_{n-1},n\ge 2$，则 $a_n=$？

$\{\begin{array}{l}{a}_n=2n\cdot 5^{n-1}{a}_{n-1}\\ a_{n-1}=2(n-1)\cdot 5^{n-2}\cdot a_{n-2}\\ ...\\ ...\\ a_2=2\cdot 2\cdot 5a_1\end{array}$

$a_n=2^{n-1}\cdot n!\cdot 5^{\frac{n(n-1)}{2}}$

从条件里挖掘出累乘法

例题：

$a_1=1$，$a_n=a_1+2a_2+3a_3+4a_4+...+(n-1)a_{n-1}(n\ge 2)$，求 $a_n$。

解：

根据题目得，

$a_{n-1}=a_1+2a_2+...+(n-2)a_{n-2},(n\ge 3)$（n 的取值范围一定不能搞错）

所以 $n\ge 3$ 时，$a_n-a_{n-1}=(n-1)a_{n-1},(n\ge 3)$

$a_n=n{a}_{n-1},(n\ge 3),(n\ge 3)$

这时再使用累乘法，

$\{\begin{array}{l}{a}_n=n{a}_{n-1}\\ a_{n-1}=(n-1)a_{n-2}\\ ...\\ ...\\ a_3=3a_2\end{array}$

两边各自相乘，得

$a_n=4\times 5\times ...n\cdot a_3$

$a_n=\frac{n!}{2}{a}_2$

有题目得，$a_1=1,a_2=a_1+2a_2$ 错了，要根据通项公式来求。

由题目得，$a_2=(2-1)a_{2-1}=1a_1=1$

所以 $a_2=1$

所以 $a_n=\frac{n!}{2},n⩾3$

当 n = 1 或 2 时，$\frac{n!}{2}$ 并不能正确表示出 $a_1,a_2$ 的值，

所以

$a_n=\{\begin{array}{l}1,n=1,2\\ \frac{n!}{2},n⩾3\end{array}$