15 大题 - 大题中的垂直翻译 (基础)

说说

我们在大题中，经常看见一些垂直条件。那么看到这些条件有哪些可行的切入点呢？

一是斜率，二是向量。但是它们本质都是相同的。

$\{\begin{array}{l}{k}_1{k}_2=-1\\ \mathrm{向}\mathrm{量}\end{array}$

由这两个方向切入后，再联立曲线和直线的方程，得出两个交点的横坐标，纵坐标关系，根据条件解题。

例题 1

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，平面上的动点 $P$ 到点 $F(1,0)$ 的距离与它到直线 $x=-1$ 的距离相等。

（1）求动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程；

（2）过点 $F(1,0)$ 的直线 $l$ 与点 $P$ 的轨迹 $C$ 交于两个不同点 $A,B$，若点 $E(0,1)$ ，且 $EA\perp EB$，求直线 $l$ 的方程。

解：

（1）

设点 $P(x,y)$

$\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}=|x+1|$

$x^2-2x+1+y^2=x^2+2x+1$

$y^2=4x$

（2）

TIP

负负得正。

由题可知 $E(0,1)$，设 $A(x_1,y_2),B(x_2,y_2)$

则 $\overrightarrow{EA}=(x_1,y_1-1),\overrightarrow{EB}=(x_2,y_2-1)$

$\overrightarrow{EA}\cdot \overrightarrow{EB}=x_1{x}_2+y_1{y}_2-(y_1+y_2)+1=0$

设直线 $l:x=my+n$（由题意得直线不可能与 $y$ 轴垂直，这样设方程不能表示垂直于 $y$ 轴的直线，所以这样设）

因为直线过点 $(1,0)$

代入得 $n=1$

所以直线方程为 $l:x=my+1$

接下来就是要求 $m$ 的值了。

联立曲线和直线的方程：

$\{\begin{array}{l}{y}^2=4x\\ x=my+1\end{array}$

$\therefore y^2-4my-4=0$

$y_1{y}_2=-4,y_1+y_2=4m$

$x_1{x}_2=\frac{(y_1{y}_2{)}^2}{16}=1$

所以 $1-4-4m+1=0$

$4m=-2$

$m=-\frac{1}{2}$

$x=-\frac{1}{2}y+1$

即 $2x+y-1=0$

例题 2

已知圆 $M$ 经过点 $(0,1)$ 且与直线 $y=-1$ 相切，圆心 $M$ 的轨迹为曲线 $C$，点 $A(a,1)(a>0)$ 为曲线 $C$ 上一点。

（1）求 $a$ 的值及曲线 $C$ 的方程；

（2）若 $M,N$ 为曲线 $C$ 上异于 $A$ 的两点，且 $AM\perp AN$。记点 $M,N$ 到直线 $x=-2$ 的距离分别为 $d_1,d_2$，判断 $d_1{d}_2$ 是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由。

解：

（1）

设圆心为 $(x,y)$，则满足

$\sqrt{x^2+(y-1{)}^2}=|y+1|$

$x^2+y^2-2y+1=y^2+2y+1$

$x^2=4y$

$a^2=4$

$a=2$

（2）

设 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$，由题意得

$d_1{d}_2=|x_1+2|\cdot |x_2+2|$（先不要着急去掉绝对值）

因为 $AM$ 和 $AN$ 是垂直的，假设 $AM$ 的斜率为 $k$，那么 $AN$ 的斜率为 $-\frac{1}{k}$。

由题意得，$AM$ 和 $AN$ 永远不可能与 $x$ 轴垂直或者与 $y$ 轴垂直。

设 $l_{AM}:y=k(x-2)+1=kx-2k+1$

联立 $l_{AM}$ 和曲线方程，

$$\begin{gathered} x^2=4y \\ y=kx-2k+1 \end{gathered}$$

所以 $x^2-4kx+8k-4=0$

由韦达定理得，$8k-4=2x_1$

所以 $x_1=4k-2$

同理，我们可以得出 $x_2=-\frac{4}{k}-2$

所以 $d_1{d}_2=|x_1+2|\cdot |x_2+2|=|4k|\cdot |\frac{4}{k}|=16$

分析

当我们知道了曲线的方程，直线的方程，那么一定能求出它们交点的坐标。

如果直线的方程包含一个未知数，那么我们解出来的交点的坐标也应当包含这个未知数。这也说明这个未知数的取值会影响交点的位置。

话说回来，在这题中，我们假设一个直线的斜率为 $k$，那么我们能用 $k$ 来表示曲线与直线的交点的坐标。相当于我们求出了坐标，只不过坐标中包含一个未知数而已。

那么在这题中，我们只需要顺着题意，把 $M,N$ 两点的横坐标分别用 $k$ 表示出来，求化简 $d_1{d}_2=|x_1+2|\cdot |x_2+2|$ 的值，答案就不请自来了。

TIP

最后说说我最开始做这题的不好的地方：

分析图其实可以知道，$d_1{d}_2=|x_1+2|\cdot |x_2+2|=(-x_1-2)(x_2+2)$。

然后我就将括号打开了，变成 $-[x_1{x}_2+2(x_1+x_2)+4]$

这样到后面的时候我求出了 $M$ 的横坐标 $x_1$，$N$ 的横坐标 $x_2$，还需要求它们相乘，相加的值，最后化简。

虽然最后结果是对的，但是给自己徒增计算量。这里的 $x_1{x}_2$ 并不是一条直线与曲线的两个交点的坐标，而是两条不同的直线与曲线的交点的其中一个点的横坐标。

TIP

如果这题尝试用向量法来做，会发现做不下去。

根据垂直条件得出 $AM\cdot AN=x_1{x}_2-2(x_1+x_2)+4+y_1{y}_2-(y_1+y_2)+1$

就不知道下面该怎么做了。