03 双曲线的定义

双曲线的定义

两个焦点到一个点的距离之差是一个定值的轨迹叫作双曲线。

左边的焦点为 $(-c,0)$，右边的焦点为 $(c,0)$。（与椭圆一样）

方程推导：

假设双曲线上的一点为 $(x,y)$，左焦点为 $(-c,0)$，右边的焦点为 $(c,0)$，那么 $|m-n|=2a$

$\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}-\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}=2a$

最终化简得

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{c^2-a^2}=1$

在双曲线中，$c^2=a^2+b^2$（在椭圆中是 $a^2=b^2+c^2$）

总结

当双曲线的焦点在 $x$ 轴上时，方程为

$\frac{x^2}{a}-\frac{y^2}{b^2}=1$

其中 $2a$ 叫做双曲线的实轴长，$a$ 叫做双曲线的实半轴长，$(a,0),(-a,0)$ 是双曲线上的两点。

$2b$ 叫作双曲线的虚轴长，$b$ 叫做双曲线的虚半轴长，它并没有什么实际意义。

离心率为 $\frac{c}{a}\in (1,+\mathrm{\infty })$。（双曲线的离心率一定大于 1，而椭圆的离心率一定在 0 到 1 之间。当 e 等于 0 时曲线是一个椭圆）

如果双曲线的实轴在 $y$ 轴，只需要调换下 $x^2$ 和 $y^2$ 的位置即可。方程写为

$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$

双曲线的渐近线

双曲线会无线趋近于渐近线而永远不会到达。

怎么求渐近线方程呢？

将双曲线方程的右边的“1”换为“0”，然后解出直线的方程即可。

比如 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，求渐近线：

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$

$\frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b^2}$

$y^2=\frac{b^2}{a^2}{x}^2$

$y=\pm \frac{b}{a}x$（因为渐近线有两条，所以带正负号）

如果双曲线在 y 轴上，也是用同样的方法求渐进线。