04 (重要) 简单几何体的表面积与体积

棱相关

长方体

$V=abc$

$S_{\mathrm{表}}=2(ab+ac+bc)$

三菱柱

$V=sh(\mathrm{底}\mathrm{面}\mathrm{积}\times \mathrm{高})$

（注意是高，不是棱长。比如如果是斜棱锥，要注意乘高而不是棱长）。

$S_{\mathrm{表}}=S_{\mathrm{侧}}+2S_{\mathrm{底}}$

棱锥

三棱锥又被称为四面体。

$V=\frac{1}{3}Sh$

$S_{\mathrm{表}}=S_{\mathrm{侧}}$

棱台（不常用）

$V=\frac{1}{3}h(S^{\prime }+\sqrt{S^{\prime }S}+S)$

面积都是一次

例题

例题 1

解：

$0.67m^3$

例题 2

解：

$118.8$

圆相关

圆柱

$V=sh$

$S_{\mathrm{侧}}=2\pi r\cdot h$

圆锥

圆锥的顶点到底面的垂线所交的点必定是圆的中心点。

$V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\cdot \pi r^{2}d$

$S_{\mathrm{侧}}=\frac{1}{2}\cdot 2\pi r\cdot l=\pi rl$（也就是圆锥的母线长 乘以 $\pi r$）

扇形面积

$S_{\mathrm{扇}}=\pi r^2\frac{\alpha }{2\pi }$

$=\frac{1}{2}{r}^2\cdot \alpha =\frac{1}{2}{r}^2\cdot \frac{l}{r}$

$=\frac{1}{2}rl$

圆台（不常用）

$V_{\mathrm{圆}\mathrm{台}}=\frac{1}{3}\pi h(r^2+r{r}^{\prime }+{r^{\prime }}^2)$

和棱台的求体积公式有异曲同工之妙

$V_{\mathrm{棱}\mathrm{台}}=\frac{1}{3}h(S^{\prime }+\sqrt{S^{\prime }S}+S)$。

为什么圆台有平方呢？因为提取了一个 $\pi$ 出去。其实形式是一样的。

$V_{\mathrm{圆}\mathrm{台}}=\frac{1}{3}h(\pi r^2+\pi r{r}^{\prime }+\pi {r^{\prime }}^2)$

$=\frac{1}{3}h(S_{\mathrm{底}}+\sqrt{{\pi }^2{r}^2{r^{\prime }}^2}+S_{\mathrm{顶}})$

$=\frac{1}{3}h(S_{\mathrm{底}}+\sqrt{S_{\mathrm{底}}{S}_{\mathrm{顶}}}+S_{\mathrm{顶}})$

面积都是一次

球

$V=\frac{4}{3}\pi R^3$

$S_{\mathrm{表}}=4\pi R^2$

发现

我们可以发现，将 $V$ 求导，得到的就是 $S_{\mathrm{表}}$。

例题

解：

$\frac{4}{3}$