02 复数的四则运算

相加想减

两个复数相加，实数加实数，复数的系数加复数的系数。

比如 $Z_1=1+2i,Z_2=3+4i$

那么 $Z_1+Z_2=4+6i$

$Z_1-Z_2=-2-2i$

乘除

我们将 $i$ 当做变量 $x$，其它的运算法则，原来怎么做，现在就怎么做。

比如 $(1+2i)(3+4i)=3+4i+6i+8i^2=-5+10i$

$(1+i{)}^2=1^2+2\times 1\times i+i^2=1+2i-1=2i$

$(3+4i)(3-4i)=3^2-(4i{)}^2=9-16i^2=26$

发现

这时我们发现，当我们对一个复数使用平方差公式时，会将复数转换为实数。

这有一点像有理化。比如我们将 $\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ 的分母有理化，就将分子分母同乘 $\sqrt{3}+\sqrt{2}$，变成

$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{1}$

由此我们引出共扼复数。

共轭复数

$Z_1=a+bi\mathrm{和}{Z}_2=a-bi$ 互为共轭复数。