06 解题 - 第一问思路整理

说说

解题思路：

$\{\begin{array}{l}\mathrm{边}⟺\mathrm{角}（\mathrm{边}\mathrm{与}\mathrm{角}\mathrm{互}\mathrm{换}）\\ \mathrm{余}\mathrm{弦}\mathrm{定}\mathrm{理}\mathrm{一}\mathrm{般}\mathrm{与}\mathrm{边}\mathrm{长}\mathrm{的}\mathrm{平}\mathrm{方}\mathrm{扯}\mathrm{上}\mathrm{关}\mathrm{系}\end{array}$

例题 1

在锐角 $\mathrm{△}ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$。已知 $2bsinA-\sqrt{3}a=0$.

（1）求角 $B$ 的大小

（2）求 $cosA+cosB+cosC$ 的取值范围。

解：

（1）

$2sinB\cdot sinA-\sqrt{3}sinA=0$

$2sinB-\sqrt{3}=0$

$\therefore sinB=\frac{\sqrt{3}}{2}$

因为是锐角，所以 $B=\frac{\pi }{3}$

（2）

例题 2

在 $\mathrm{△}ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$.

已知 $b+c=2a,3c\cdot sinB=4a\cdot sinC$.

（1）求 $cosB$ 的值；

（2）求 $sin(2B+\frac{\pi }{6})$ 的值。

解：

（1）

$3cb=4ac$

$3b=4a$

$cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$

$=\frac{a^2+\frac{4}{9}{a}^2-\frac{16}{9}{a}^2}{2a\cdot \frac{2}{3}a}$

$=\frac{-\frac{3}{9}}{\frac{4}{3}}=\frac{1}{4}$

例题 3

$\mathrm{△}ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别是 $a,b,c$ 且满足 $(2a-c)cosB=bcosC$，

（1）求角 $B$ 的大小；

（2）若 $\mathrm{△}ABC$ 的面积为 $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ 且 $b=\sqrt{3}$，求 $a+c$ 的值。

解：

（1）

由正弦定理得，

$(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC$

$2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC$

$2sinAcosB=sin(B+C)=sin(\pi -A)$

$\therefore 2sinAcosB=sinA$

$\therefore 2cosB=1$

$cosB=\frac{1}{2}$

$\therefore B=\frac{\pi }{3}$

（2）

例题 4

已知 $A,B,C$ 分别为 $\mathrm{△}ABC$ 三边 $a,b,c$ 所对的角，且 $(2b-c)(b^2+c^2-a^2)=2abc\cdot cosC$。

（1）求角 $A$；

（2）若 $a=\sqrt{3}$，求 $BC$ 边上中线 $AM$ 的最大值。

解：

（1）

由余弦定理得，

$cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

$(2b-c)(b^2+c^2-a^2)=(2b-c)cosA\cdot 2bc=2abc\cdot cosC$

$(2b-c)cosA=acosC$

由正弦定理得，

$(2sinB-sinC)cosA=sinAcosC$

$2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC$

$=sin(A+C)=sinB$

$\therefore cosA=\frac{1}{2}$

$A=\frac{\pi }{3}$

例题 5

已知 $\mathrm{△}ABC$ 的三个内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，且 $asinAsinB+bco{s}^A=\frac{4}{3}a$.

（1）求 $\frac{b}{a}$；

（2）若 $c^2=a^2+\frac{1}{4}{b}^2$，求角 $C$.

解：

（1）

由正弦定理得，

$si{n}^A\cdot sinB+sinB\cdot co{s}^{2}A=\frac{4}{3}sinA$

$sinB(si{n}^A+co{s}^A)=\frac{4}{3}sinA$

$sinB=\frac{4}{3}sinA$

$\therefore \frac{b}{a}=\frac{sinB}{sinA}=\frac{4}{3}$

例题 6

在 $\mathrm{△}ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，且满足 $\frac{tanA}{tanB}=\frac{2c-b}{b}$.

（1）求 $A$ 的大小；

（2）若 $sin(B+C)=6cosBsinC$，求 $\frac{b}{c}$ 的值。

解：

（1）

$\frac{tanA}{tanB}=\frac{\frac{sinA}{cosA}}{\frac{sinB}{cosB}}=\frac{sinAcosB}{sinBcosA}$

$\frac{sinAcosB}{sinBcosA}=\frac{2sinC-sinB}{sinB}$

$sinAcosB=(2sinC-sinB)cosA$

$sinAcosB=2cosAsinC-cosAsinB$

$sin(A+B)=sinC=2cosA\cdot sinC$

$cosA=\frac{1}{2}$

$\therefore A=\frac{\pi }{3}$

例题 7

已知 $\mathrm{△}ABC$ 的内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，且 $sinB(tanA+tanC)=tanAtanC$。

（1）求证：$b^2=ac$；

（2）若 $a=2c=2$，求 $\mathrm{△}ABC$ 的面积。

解：

（1）

由题目条件得，

$sinB(\frac{sinA}{cosA}+\frac{sinC}{cosC})=\frac{sinA}{cosA}\cdot \frac{sinC}{cosC}$

$sinB(\frac{sinAsinC+cosAsinC}{cosAcosC})=\frac{sinA}{cosA}\cdot \frac{sinC}{cosC}$

$sinB\cdot \frac{sin(A+C)}{cosAcosC}=\frac{sinA}{cosA}\cdot \frac{sinC}{cosC}$

$sinB\cdot \frac{sinB}{cosAcosC}=\frac{sinA}{cosA}\cdot \frac{sinC}{cosC}$

$si{n}^{2}B=sinA\cdot sinC$

然后由正弦定理得，

$b^2=ac$

例题 8

若 $\mathrm{△}ABC$ 的内角满足 $sinA+\sqrt{2}sinB=2sinC$，则 $cosC$ 的最小值是____.

解：

由正弦定理得，

$a+\sqrt{2}b=2c$

$cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

$=\frac{4a^2+4b^2-4(a+\sqrt{2}{b}^2{)}^2}{8ab}$

$=\frac{3a^2+2b^2-2\sqrt{2}ab}{8ab}$

$=\frac{1}{8}(\frac{3a}{b}+\frac{2b}{a})-\frac{\sqrt{2}}{4}$

$\ge \frac{1}{8}\cdot 2\sqrt{\frac{3a}{b}\cdot \frac{2b}{a}}-\frac{\sqrt{2}}{4}$

$\ge \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$