12 向量数量积与集合（拔高）

说说

根据 $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{)}^2$，求出 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ 的值。

例题 1

三角形 $\mathrm{△}ABC$ 的外接圆半径为 $1$，圆心 $O$，已知 $3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}+5\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，则 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{OC}=$ ___。

解：

解法二，更简单一点，只用算一次

我们要求的是 $(-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\cdot \overrightarrow{OC}$，

根据 $3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}+5\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}⟹\overrightarrow{c}=\frac{1}{5}(-3\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b})$

所以我们只需要求 $-\frac{1}{5}(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})\cdot (3\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b})$。

这样我们只需要求 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ 的值就好了，也就只用算一次。

解法一，要算两次，麻烦了点

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{OC}=(-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\cdot \overrightarrow{OC}$

$=\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}$

$\because -3\overrightarrow{OA}=4\overrightarrow{OB}+5\overrightarrow{OC}$

$\therefore 9|\overrightarrow{OA}{|}^2=16|\overrightarrow{OB}{|}^2+25|\overrightarrow{OC}{|}^2+40\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OB}$

$\therefore \overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}=-\frac{32}{40}=-\frac{4}{5}$

同理，

$\because -4\overrightarrow{OB}=3\overrightarrow{OA}+5\overrightarrow{OC}$

$\therefore 16|\overrightarrow{OB}{|}^2=9|\overrightarrow{OA}{|}^2+25|\overrightarrow{OC}{|}^2+30\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}$

$\therefore \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}=-\frac{18}{30}=-\frac{3}{5}$

所以答案为 $-\frac{4}{5}+\frac{3}{5}=-\frac{1}{5}$

例题 2

如图，$\mathrm{△}ABC$ 中，$AB=2,AC=3,BC$ 边的垂直平分线分别与 $BC,AC$ 交于点 $D,E$，若 $P$ 是线段 $DE$ 上的动点，则 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{BC}$ 的值为（）。

$A.\mathrm{与}\mathrm{角}A\mathrm{有}\mathrm{关}，\mathrm{且}\mathrm{与}\mathrm{点}P\mathrm{的}\mathrm{位}\mathrm{置}\mathrm{有}\mathrm{关}$

$B.\mathrm{与}\mathrm{角}A\mathrm{有}\mathrm{关}，\mathrm{且}\mathrm{与}\mathrm{点}P\mathrm{的}\mathrm{位}\mathrm{置}\mathrm{无}\mathrm{关}$

$C.\mathrm{与}\mathrm{角}A\mathrm{无}\mathrm{关}，\mathrm{且}\mathrm{与}\mathrm{点}P\mathrm{的}\mathrm{位}\mathrm{置}\mathrm{有}\mathrm{关}$

$D.\mathrm{与}\mathrm{角}A\mathrm{无}\mathrm{关}，\mathrm{且}\mathrm{与}\mathrm{点}P\mathrm{的}\mathrm{位}\mathrm{置}\mathrm{无}\mathrm{关}$

解：

第一先想到的做法，会比较难做

$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PC}$

$=(\overrightarrow{PE}+\overrightarrow{EA})\cdot \overrightarrow{BC}$

$=\overrightarrow{PE}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{EA}\cdot \overrightarrow{BC}$

$=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{EA}\cdot \overrightarrow{BC}$

$\overrightarrow{EA}\cdot \overrightarrow{BC}$ 是比较继续往下做的。

这时，我们换种思路，画辅助线

链接 $AD$。

$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PC}$

$=(\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{PA})\cdot \overrightarrow{BC}$

$=\overrightarrow{PD}\cdot \overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}$

$=\overrightarrow{0}-\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\cdot (\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})$

$=-\frac{1}{2}(|\overrightarrow{c}{|}^2-|\overrightarrow{b}{|}^2)$

$=-\frac{1}{2}(3^2-2^2)=-\frac{5}{2}$

所以答案是一个常数，选 $D$。