10 平面向量基本定理综合演练

解题思路

第一种：根据条件，构造方程

第二种：转换向量。比如在一个平行四边形中，我们已知两个基底向量，要求另外一个向量。就把要求的向量用两个基底向量来表示。

例题 1

设 ${\overrightarrow{e}}_1,{\overrightarrow{e}}_2$ 为两个不共线的向量，$\overrightarrow{a}=-{\overrightarrow{e}}_1+3{\overrightarrow{e}}_2,\overrightarrow{b}=4{\overrightarrow{e}}_1+2{\overrightarrow{e}}_2,c=-3{\overrightarrow{e}}_1+12{\overrightarrow{e}}_2$，试用 $\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ 为基底表示向量 $\overrightarrow{a}$;

解：

设 $\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{b}+y\overrightarrow{c}$

则 $-{\overrightarrow{e}}_1+3{\overrightarrow{e}}_2=x(4{\overrightarrow{e}}_1+2{\overrightarrow{e}}_2)+y(-3{\overrightarrow{e}}_1+12{\overrightarrow{e}}_2)$

$=(4x-3y){\overrightarrow{e}}_1+(2x+12y){\overrightarrow{e}}_2$

$\therefore \{\begin{array}{l}-1=4x-3y\\ 3=2x+12y\end{array}$

解得 $x=-\frac{1}{18},y=\frac{7}{27}$

所以 $\overrightarrow{a}=-\frac{1}{18}\overrightarrow{b}+\frac{7}{27}\overrightarrow{c}$

例题 2

如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，$AE=\frac{1}{3}AB,CF=\frac{1}{3}CD$，$G$ 为 $EF$ 的中点，则 $\overrightarrow{DG}=()$。

$A.\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$

$B.\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

$C.\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$

解：

$\overrightarrow{DG}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{DF})$

$=\frac{1}{2}(-\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB})$

$=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})$

所以答案选 $A$。

例题 3

如图所示，在 $\mathrm{△}OAB$ 中，$OA>OB,OC=OB$，设 $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，若 $\overrightarrow{AC}=\lambda \cdot \overrightarrow{AB}$，则实数 $\lambda$ 的值为（）。

$A.\frac{\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$

$B.\frac{\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^2}$

$C.\frac{{\overrightarrow{a}}^2-{\overrightarrow{b}}^2}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$

$D.\frac{{\overrightarrow{a}}^2-{\overrightarrow{b}}^2}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^2}$

解：

由 $OC=OB$ 条件得，

$|\overrightarrow{OC}|=|\overrightarrow{a}+\lambda (-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})|$

$|\overrightarrow{a}+\lambda (-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})|=|\overrightarrow{b}|$

$|(1-\lambda )\overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{b}|$

两边同时平方，

$(1-\lambda {)}^2|\overrightarrow{a}{|}^2+2\lambda (1-\lambda )\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+{\lambda }^2{\overrightarrow{b}}^2=|\overrightarrow{b}{|}^2$

$(1-\lambda {)}^2|\overrightarrow{a}{|}^2+2\lambda (1-\lambda )\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}-(1-{\lambda }^2)|\overrightarrow{b}{|}^2=0$

$(1-\lambda {)}^2|\overrightarrow{a}{|}^2+2\lambda (1-\lambda )\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}-(1+\lambda )(1-\lambda )|\overrightarrow{b}{|}^2=0$

$(1-\lambda )|\overrightarrow{a}{|}^2+2\lambda \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}-(1+\lambda )|\overrightarrow{b}{|}^2=0$

${\overrightarrow{a}}^2-\lambda {\overrightarrow{a}}^2+2\lambda \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}-{\overrightarrow{b}}^2-\lambda {\overrightarrow{b}}^2=0$

${\overrightarrow{a}}^2-{\overrightarrow{b}}^2=\lambda ({\overrightarrow{a}}^2-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2)$

${\overrightarrow{a}}^2-{\overrightarrow{b}}^2=\lambda (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{)}^2$

注意

注意到这里不能再化简了！不能说

$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=\lambda (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})$，然后就 $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\lambda (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$，这是错误的。

$\lambda =\frac{{\overrightarrow{a}}^2-{\overrightarrow{b}}^2}{(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{)}^2}$

答案选 $D.$