05 三角恒等变换下（中档）

例题 1

若 $cosx=\frac{3}{5}$，则 $sin(\frac{\pi }{4}-x)\cdot sin(\frac{\pi }{4}+x)=?$

解：

令 $\frac{\pi }{4}-x=\alpha$

则 $x=\frac{\pi }{4}-\alpha$

$\therefore sin(\frac{\pi }{4}-x)sin(\frac{\pi }{4}+x)$

$=sin\alpha \cdot sin(\frac{\pi }{2}-\alpha )$

$=2sin\alpha \cdot cos\alpha \cdot \frac{1}{2}$

$=\frac{1}{2}sin2\alpha$

$=\frac{1}{2}sin(\frac{\pi }{2}-2x)$

$=\frac{1}{2}cos2x=\frac{1}{2}\cdot (2co{s}^{2}x-1)$

$=\frac{1}{2}(\frac{18}{25}-1)=-\frac{7}{50}$

例题 2

已知函数 $f(x)=2sin\omega xsi{n}^2(\frac{\omega x}{2}+\frac{\pi }{4})-si{n}^2\omega x(\omega >0)$ 在区间 $[-\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}]$ 上是增函数，且在区间 $[0,\pi ]$ 上恰好取得一次最大值，则 $\omega$ 的取值范围是（）。

$A.[\frac{1}{2},\frac{2}{3})$

$B.[\frac{1}{3},\frac{2}{3}]$

$C.[\frac{1}{3},\frac{2}{3})$

$D.[\frac{1}{2},\frac{2}{3}]$

解：

所以答案选 $D.$

例题 3

已知 $\alpha \in (0,\frac{\pi }{2}),\beta \in (0,\frac{\pi }{2})$，且 $\frac{sin\beta }{cos\beta }=\frac{1+cos2\alpha }{2cos\alpha +sin2\alpha }$，则 $tan(\alpha +2\beta +\frac{\pi }{4})=().$

$A.-1$

$B.1$

$C.\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$D.-\frac{2\sqrt{2}}{3}$

解：

错误解法：

直接将原式分子分母交叉相乘，得到 $cos\beta +cos\beta \cos 2\alpha =2sin\beta cos\alpha +sin\beta \sin 2\alpha$

进一步化简得到 $cos\beta +cos(\beta +2\alpha )=2sin\beta cos\alpha$

然后就走不下去了。。。

正确解法：

首先我们应该知道 $cos2\alpha =2co{s}^{\alpha }-1=co{s}^2\alpha -si{n}^2\alpha$

所以 $\mathrm{原}\mathrm{式}=\frac{sin\beta }{cos\beta }=\frac{2co{s}^{\alpha }}{2cos\alpha +2sin\alpha cos\alpha }=\frac{cos\alpha }{1+sin\alpha }$

$sin\beta +sin\alpha sin\beta =cos\alpha cos\beta$

$cos(\frac{\pi }{2}-\beta )=sin\beta =cos(\alpha +\beta )$

$\therefore \frac{\pi }{2}=\alpha +\beta$

$\therefore tan\frac{3\pi }{4}=tan(-\frac{\pi }{4})=-tan\frac{\pi }{4}$

$=-1$