15 三角函数的单调性

说说

对于 $y=Asin(\omega x+\phi )+B$，

我们要求它关于 $x$ 的单调性，

应当使用换元法令 $\omega +\phi =\alpha$，

先求出 $\alpha$ 的单调区间，

再反解出 $x$ 的单调区间。

前提是 $\omega$ 是正的，如果是负的，我们需要用诱导化简公式转为正的。

例题

例题 1

已知函数 $f(x)=\sqrt{2}cos(4x-\frac{\pi }{4})+1.$

（I）求 $f(x)$ 的单调区间；

（II）求函数 $f(x)$ 的对称轴和对称中心。

解：

（I）

求单调增区间：

令 $\alpha =4x-\frac{\pi }{4}$

$f(x)=\sqrt{2}cos\alpha +1$

$4x-\frac{\pi }{4}=\alpha \in [-\pi +2k\pi ,0+2k\pi ],k\in Z$

$x\in [-\frac{3}{16}\pi +\frac{k}{2}\pi ,\frac{\pi }{16}+\frac{k}{2}\pi ],(k\in Z)$

求单调减区间：

同理。

（II）

$4x-\frac{\pi }{4}=\alpha =k\pi$

所以对称轴为 $x=\frac{\pi }{16}+\frac{k}{4}\pi ,(k\in Z)$

求对称中心：

$4x-\frac{\pi }{4}=\alpha =\frac{\pi }{2}+k\pi$

$x=\frac{3}{16}\pi +\frac{k}{4}\pi (k\in Z)$

$\therefore \mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{中}\mathrm{心}\mathrm{为}(\frac{3}{16}\pi +\frac{k}{4}\pi ,1),(k\in Z)$

例题 2

已知函数 $f(x)=sin(2x+\frac{\pi }{6})+2$

已知 $\omega >0$，函数 $g(x)=f(\frac{\omega x}{2}+\frac{\pi }{12})$，若函数 $g(x)$ 在区间 $[-\frac{2\pi }{3},\frac{\pi }{6}]$ 上是增函数，求 $\omega$ 的最大值。

解：

$g(x)=sin(2(\frac{\omega x}{2}+\frac{\pi }{12})+\frac{\pi }{6})+2=sin(\omega x+\frac{\pi }{3})+2$

令 $\omega x+\frac{\pi }{3}=\alpha$

$\alpha =\omega x+\frac{\pi }{3}\in [-\frac{2}{3}\pi \omega +\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{6}\omega +\frac{\pi }{3}]$

因为当 $\alpha \in [-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi ]$ 时 $sin\alpha$ 为增区间。

所以 $\{\begin{array}{l}-\frac{\pi }{2}+2k\pi \le -\frac{2}{3}\pi \omega +\frac{\pi }{3}\\ \frac{\pi }{6}\omega +\frac{\pi }{3}\le \frac{\pi }{2}+2k\pi \end{array}⟹\{\begin{array}{l}0<\frac{2}{3}\omega \le \frac{5}{6}-2k\\ 0<\omega \le \frac{5}{4}-3k\end{array}$

$\therefore -\frac{1}{12}<k<\frac{5}{12}$

$\therefore k=0$

$\therefore \{\begin{array}{l}\omega \le \frac{5}{4}\\ \omega \le 1\end{array}$

$\therefore {\omega }_{max}=1$