13 三角函数图像平移与伸缩变换

说说

$y=sinx$

$y=cosx$

$y=tanx$

对于形如 $y=Asin(\omega x+\phi )+B$ 三角函数的考点：

$\{\begin{array}{l}\mathrm{变}\mathrm{换}\{\begin{array}{l}\mathrm{平}\mathrm{移}\\ \mathrm{伸}\mathrm{缩}\end{array}\\ \mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{性}\{\begin{array}{l}\mathrm{点}\\ \mathrm{直}\mathrm{线}\end{array}\\ \mathrm{单}\mathrm{调}\mathrm{性}\end{array}$

假设有一个三角函数 $y=Asin(\omega x+\phi )+B$，

先向左平移 $\theta$ 个单位，根据左移 x 加，右移 x 减法则，那么式子变为 $y=Asin(\omega (x+\theta )+\phi )+B$，

再将 x 延长 2 倍，也就是将周期延长了 2 倍。再根据 ${\omega }^{\prime }=\frac{2\pi }{2T}$，所以 ${\omega }^{\prime }=\frac{1}{2}\omega$

例题

例题 1

将函数 $y=sin(4x-\frac{\pi }{6})$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再把所得图像向左平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位长度，得到函数 $f(x)$ 的图像，则函数 $f(x)$ 的解析式为（）。

$A.f(x)=sin(2x+\frac{\pi }{6})$

$B.f(x)=sin(2x-\frac{\pi }{3})$

$C.f(x)=sin(8x+\frac{\pi }{6})$

$D.f(x)=sin(8x-\frac{\pi }{3})$

解：

$A.$

例题 2

要得到函数 $y=cos(2x-\frac{\pi }{4})$ 的图像，只需要将函数 $y=cosx$ 的图像（）

$A.\mathrm{向}\mathrm{左}\mathrm{平}\mathrm{行}\mathrm{移}\mathrm{动}\frac{\pi }{8}$ 个单位长度，横坐标缩短为原来的 6 倍，纵坐标不变

$B.\mathrm{向}\mathrm{左}\mathrm{平}\mathrm{行}\mathrm{移}\mathrm{动}\frac{\pi }{4}$ 个单位长度，横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变

$A.\mathrm{向}\mathrm{右}\mathrm{平}\mathrm{行}\mathrm{移}\mathrm{动}\frac{\pi }{8}$ 个单位长度，横坐标伸长为原来的 $\sqrt{5}$ 倍，纵坐标不变

$A.\mathrm{向}\mathrm{右}\mathrm{平}\mathrm{行}\mathrm{移}\mathrm{动}\frac{\pi }{4}$ 个单位长度，横坐标伸长为原来的 $\sqrt{5}$ 倍，纵坐标不变

解：

$B.$

例题 3

将函数 $f(x)=sin2x$ 的图像向右平移 $\phi (0<\phi <\frac{\pi }{2})$ 个单位后得到函数 $g(x)$ 的图像，若对满足 $|f(x_1)-g(x_2)|=2$ 的 $x_1$、$x_2$，有 $|x_1-x_2{|}_{min}=\frac{\pi }{3}$，则 $\phi =$（）。

$A.\frac{5\pi }{12}$

$B.\frac{\pi }{3}$

$C.\frac{\pi }{4}$

$A.\frac{\pi }{6}$

解：