02 弧度制与扇形面积公式

什么是弧度制？

只需要记住公式

$\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{扇}\mathrm{形}\mathrm{的}\mathrm{角}\mathrm{的}\theta (\mathrm{用}\mathrm{弧}\mathrm{度}\mathrm{制}\mathrm{表}\mathrm{示})=\frac{\mathrm{扇}\mathrm{形}\mathrm{的}\mathrm{弧}\mathrm{长}}{\mathrm{扇}\mathrm{形}\mathrm{的}\mathrm{半}\mathrm{径}}$

我们规定

${360}^{\circ }⟺2\pi \cdot rad$

${180}^{\circ }⟺\pi \cdot rad$

$1^{\circ }⟺\frac{\pi }{180}\cdot rad$

一般单位 $rad$ 可以省略。

为什么这么规定呢？

因为用度数来表示角度并不是那么方便，所以我们换了一种方式来表示角度。

假设有一个角 $\alpha$，我们用 $\frac{l}{r}(\mathrm{弧}\mathrm{长}\mathrm{除}\mathrm{以}\mathrm{半}\mathrm{径})$ 来表示它的角度。

由此我们可以得出一个圆的角度为 $\frac{2\pi r}{r}=2\pi$，那么也就得出了 $1^{\circ }⟺\frac{\pi }{180}\cdot rad$。

扇形的面积公式

$S_{\mathrm{扇}}=\frac{1}{2}\cdot l\cdot r=\frac{1}{2}\alpha r^2$

例题

例题 1

已知一个扇形的圆心角为 $\frac{5\pi }{6}$，半径为 $3$，则它的弧长为（）

$A.\frac{5\pi }{3}$

$B.\frac{2\pi }{3}$

$C.\frac{5\pi }{2}$

$D.\frac{\pi }{2}$

解：

由弧度公式得，$\alpha =\frac{l}{r}$

$\therefore \frac{5}{6}\pi =\frac{l}{3}$

$l=\frac{5}{6}\pi \cdot 3=\frac{5}{2}\pi$

选 C.

例题 2

$-\frac{5\pi }{3}$弧度化为角度应为____.

解：

$-\frac{5}{3}\times {180}^{\circ }=-{300}^{\circ }$

例题 3

已知扇形的周长为 $6cm$，面积为 $2c{m}^2$，则扇形的中心角的弧度数是（）。

$A.1$

$B.4$

$C.1\mathrm{或}4$

$D.2\mathrm{或}4$

解：

$\{\begin{array}{l}2r+l=6\\ \frac{1}{2}\cdot r\cdot l=2,\therefore rl=4\end{array}$

$r\cdot (6-2r)=4$

$r\cdot (3-r)=2$

$0=r^2-3r+2$

$0=(r-1)(r-2)$

$\therefore r=1\mathrm{或}r=2$

$\therefore \{\begin{array}{l}r=1\\ l=4\end{array}\mathrm{或}\{\begin{array}{l}r=2\\ l=2\end{array}$