难度： 未标明难度

标签： 求值域

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

求函数 $f(x)=\frac{x^2+2}{x^2+x+1}$ 的值域。

解，法一，判别式法

$y=\frac{x^2+2}{x^2+x+1}$

因为分母的 $\mathrm{\Delta }<0$，所以分母不可能为 0，所以不用担心乘分母会有增解。

$y{x}^2+yx+y=x^2+2$

$(y-1)x^2+yx+y-2=0$

$\mathrm{\Delta }=y^2-4(y-1)(y-2)⩾0$

$y^2-4(y^2-3y+2)⩾0$

$-3y^2+12y-8⩾0$

$y_{1,2}=\frac{-12\pm \sqrt{144-4\times 3\times 24}}{-6}$

$=\frac{12\pm \sqrt{48}}{6}$

$=\frac{12\pm 4\sqrt{3}}{6}$

$=\frac{6\pm 2\sqrt{3}}{3}$

所以 $y\in [\frac{6-2\sqrt{3}}{3},\frac{6+2\sqrt{3}}{3}]$

解，法二，凑系数法（还挺难凑的……）

$f(x)=\frac{x^2+x+1-x+1}{x^2+x+1}$

$=1-\frac{x-1}{x^2+x+1}$

令 $x-1=t,t\ne 0,\mathrm{即}\mathrm{不}\mathrm{包}\mathrm{含}x=1\mathrm{的}\mathrm{情}\mathrm{况}f(t)=1-\frac{t}{t^2+3t+3}$

那么分类讨论 x 是否为 1 的情况。

所以 $x=1,f(x)=1$

$x\ne 1$ 时，

$f(t)=1-\frac{1}{t+\frac{3}{t}+3}$

根据对钩函数，$t+\frac{3}{t}\in (-\mathrm{\infty },-2\sqrt{3}]\cup [2\sqrt{3},+\mathrm{\infty })$

$t+\frac{3}{t}+3\in (-\mathrm{\infty },3-2\sqrt{3}]\cup [3+2\sqrt{3},+\mathrm{\infty })$

$-\frac{1}{t+\frac{3}{t}+3}\in [\frac{3-2\sqrt{3}}{3},0)\cup (0,\frac{2\sqrt{3}+3}{3}]$

所以 $f(t)\in [\frac{6-2\sqrt{3}}{3},1)\cup (1,\frac{2\sqrt{3}+6}{3}]$

综上，

值域为 $[\frac{6-2\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{3}+6}{3}]$