难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题指数找基友

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=e^{x+1}-m\sqrt{x}+nsinx,m,n\in R$

（1）若 $n=0$，讨论 $f(x)$ 的零点个数；

（2）若函数 $f(x)$ 有零点，证明：$m^2+n^2>e^3$

解（1）

$f(x)=e^{x+1}-m\sqrt{x}+nsinx$

$n=0$

$f(x)=e^{x+1}-m\sqrt{x}$

$e^{x+1}-m\sqrt{x}=0$

$e^{x+1}=m\sqrt{x}$

$m=\frac{e^{x+1}}{\sqrt{x}}(x>0)$

令 $\sqrt{x}=t>0$

$m=\frac{e^{t^2+1}}{t}$

令 $h(t)=\frac{e^{t^2+1}}{t}$

$h^{\prime }(t)=\frac{2t^2{e}^{t^2+1}-e^{t^2+1}}{t^2}$

$=\frac{(2t^2-1)e^{t^2+1}}{t^2}$

所以 $0<x<\frac{1}{\sqrt{2}},h^{\prime }(t)<0,h(t)\downarrow$

$x>\frac{1}{\sqrt{2}},h^{\prime }(t)>0,h(t)\uparrow$

$h(t{)}_{min}=h(\frac{1}{\sqrt{2}})=\sqrt{2}{e}^{\frac{3}{2}}$

$t\to 0,h(t)\to +\mathrm{\infty }$

$t\to +\mathrm{\infty },h(t)\to +\mathrm{\infty }$

所以 $m<\sqrt{2}{e}^{\frac{3}{2}}$，$f(x)$ 无零点

$m=2e^{\frac{3}{2}}$，$f(x)$ 有 1 个零点

$m>2e^{\frac{3}{2}}$，$f(x)$ 有 2 个零点。

解（2）

$f(x)=e^{x+1}-m\sqrt{x}+nsinx$

$e^{x+1}-m\sqrt{x}+nsinx=0(x>0)$

$sinx\cdot n-\sqrt{x}m+e^{x+1}=0$

点 $(0,0)$ 到点 $(m,n)$ 的距离的平方为 $m^2+n^2$

点 $(0,0)$ 到直线 $sinx\cdot n-\sqrt{x}m+e^{x+1}=0$ 的距离为

$d=\frac{e^{x+1}}{\sqrt{si{n}^{2}x+x}}$

所以证明 $m^2+n^2>e^3$

即证 $\frac{e^{2x-1}}{si{n}^{2}x+x}>e^3$

即证 $\frac{e^{2x-1}}{si{n}^x+x}>1$

$e^{2x-1}>si{n}^{2}x+x$

$e^{2x-1}>x^2+x>si{n}^{2}x+x$

$e^{2x-1}>x^2+x$

对数单身狗

$1>\frac{x^2+x}{e^{2x-1}}$

令 $g(x)=\frac{x^2+x}{e^{2x-1}}$

$g^{\prime }(x)=\frac{(2x+1)e^{2x-1}-2(x^2+x)e^{2x-1}}{(e^{2x-1}{)}^2}$

$=\frac{-2x^2+}{e^{2x-1}}$

所以 $g(x)$ 在 $(0,\frac{1}{\sqrt{2}})\uparrow ,(\frac{1}{\sqrt{2}},+\mathrm{\infty })\downarrow$

$g(x{)}_{max}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}}{e^{\sqrt{2}-1}}$

即证 $1>\frac{1+\sqrt{2}}{2e^{\sqrt{2}-1}}$

$1>\frac{1+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}>\frac{1+\sqrt{2}}{2e^{\sqrt{2}-1}}$

证毕。