难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题三变量定主元差值换元弦长公式隐零点方程

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知定义在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 上的两个函数 $f(x)=x^2+\frac{1}{4},g(x)=lnx$

（1）求函数 $h(x)=f(x)-g(x)$ 的最小值；

（2）设直线 $y=-x+t(t\in R)$ 与曲线 $y=f(x),y=g(x)$ 分别交于 A, B 两点，求 $|AB|$ 的最小值。

解（1）

$f(x)=x^2+\frac{1}{4}$

$g(x)=lnx,(x>0)$

$h(x)=f(x)-g(x),x>0$

$=x^2+\frac{1}{4}-lnx$

$h^{\prime }(x)=2x-\frac{1}{x}=\frac{2x^2-1}{x}$

$x\in (0,\frac{\sqrt{2}}{2})$ 时，$h^{\prime }(x)0,h(x)\downarrow$

$x\in (\frac{\sqrt{2}}{2},+\mathrm{\infty })$ 时，$h^{\prime }(x)>0,h(x)\uparrow$

$h(x{)}_{min}=h(\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-ln\frac{1}{\sqrt{2}}$

$=\frac{3}{4}+ln\sqrt{2}$

解（2）

画出图像，

设直线 $y=-x+t$ 与 $f(x)$ 的交点为 $(x_1,y_1)$

与 $g(x)$ 的交点为 $(x_2,y_2)$

那么 $|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{2}(x_2-x_1)$

$\{\begin{array}{l}-x_1+t=x_1^2+\frac{1}{4}\\ -x_2+t=ln{x}_2\end{array}$

上式减下式，得

$x_2-x_1=x_1^2+\frac{1}{4}-ln{x}_2$

令 $x_2-x_1=m,m>0$

$x_2=m+x_1,x_1=x_2-m$

所以 $m=(x_2-m{)}^2+\frac{1}{4}-ln{x}_2(x_2>0)$

所以 $(x_2-m{)}^2+\frac{1}{4}-ln{x}_2-m=0(x_2>0)$ 一定有解

令 $g(x)=(x-m{)}^2+\frac{1}{4}-lnx-m(x>0)$

$g(x)=0$ 一定有解。

$g^{\prime }(x)=2(x-m)-\frac{1}{x}=\frac{2x^2-2mx-1}{x^2}$

令 $G(x)=2x^2-2mx-1(x>0)$

$\mathrm{\Delta }=4m^2+8>0$

$x_1+x_2=-\frac{-2m}{2}=m>0$

$x_1{x}_2=-\frac{1}{2}$

所以有 $x_0=x_2\in (0,+\mathrm{\infty })$ 使得 $2x_0^2-2m{x}_0-1=0$

$0<x<x_0,g^{\prime }(x)<0,g(x)\downarrow$

$x>x_0,g^{\prime }(x)>0,g(x)\uparrow$

所以 $g(x{)}_{min}=g(x_0)⩽0$

$(x_0-m{)}^2+\frac{1}{4}-ln{x}_0-m⩽0$

通过隐零点方程代换，即是

$(\frac{1}{2x_0}{)}^2+\frac{1}{4}-ln{x}_0-x_0+\frac{1}{2x_0}⩽0$

$\frac{1}{4x_0^2}+\frac{1}{4}-ln{x}_0-x_0+\frac{1}{2x_0}⩽0$

令 $H(x_0)=\frac{1}{4x_0^2}+\frac{1}{4}-ln{x}_0-x_0+\frac{1}{2x_0}$

$H(x_0)\downarrow ,H(1)=0$

所以 $x_0⩾1$

$m=x_0-\frac{1}{2x_0}⩾\frac{1}{2}$

$|AB|=\sqrt{m}⩾\frac{\sqrt{2}}{2}$