难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题三变量极值点偏移绝对值分类讨论奇函数、偶函数的性质

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=a^x-e{x}^2,a>0$ 且 $a\ne 1$.

（1）设 $g(x)=\frac{f(x)}{x}+ex$，讨论 $g(x)$ 的单调性；

（2）若 $a>1$ 且 $f(x)$ 存在三个零点 $x_1,x_2,x_3$.

（i）求实数 $a$ 的取值范围；

（ii）设 $x_1<x_2<x_3$，求证：$x_1+3x_2+x_3>\frac{2e+1}{\sqrt{e}}$

解（1）

$f(x)=a^x-e{x}^2(a>0,a\ne 1)$

$g(x)=\frac{f(x)}{x}+ex=\frac{a^x}{x}-ex+ex$

$=\frac{a^x}{x}(x\ne 0)$

注意这里的定义域，不能为 0

$g^{\prime }(x)=\frac{x{a}^{x}lna-a^x}{x^2}=\frac{a^x(lna\cdot x-1)}{x^2}$

一、当 $0<a<1$ 时，

$lna<0$

$x\in (-\mathrm{\infty },\frac{1}{lna})$ 时，$g^{\prime }(x)>0,g(x)\uparrow$

$x\in (\frac{1}{lna},0)\cup (0,+\mathrm{\infty })$ 时，$g^{\prime }(x)<0,g(x)\downarrow$

二、当 $a>1$ 时

$lna>0$

$x\in (-\mathrm{\infty },0)\cup (0,\frac{1}{lna})$ 时，$g^{\prime }(x)<0,g(x)\downarrow$

$x\in (\frac{1}{lna},+\mathrm{\infty })$ 时，$g^{\prime }(x)>0,g(x)\uparrow$

解（2）i

$a>1,f(x)=a^x-e{x}^2=0$ 有 3 个解

$a^x=e{x}^2$

$xlna=lne+ln{x}^2=1+2lnx$

注意下面这一步转换，要加上绝对值，否则不能等价

$lna\cdot x=1+2ln|x|$

$lna=\frac{1+2ln|x|}{x}$

令 $h(x)=\frac{1+2ln|x|}{x}$

$h(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1+2lnx}{x},x>0\\ \frac{1+2ln(-x)}{x},x<0\end{array}$

当 $x>0$ 时，$h(x)=-h(-x)$

所以 $h(x)$ 关于原点对称

$x>0$ 时，$h^{\prime }(x)=\frac{\frac{2}{x}\cdot x-(1+2lnx)}{x^2}$

$=\frac{2-1-2lnx}{x^2}$

$=\frac{1-2lnx}{x^2}$

所以 $x\in (0,\sqrt{e}),h^{\prime }(x)>0,h(x)\uparrow$

$x\in (\sqrt{e},+\mathrm{\infty }),h^{\prime }(x)<0,h(x)\downarrow$

$h(x{)}_{max}=h(\sqrt{e})=\frac{2}{\sqrt{e}}$

$x\to 0^{+},h(x)\to -\mathrm{\infty }$

$x\to +\mathrm{\infty },h(x)\to 0^{+}$

$h(x_0)=0,x_0=\frac{1}{\sqrt{e}}$

所以 $x\in (-\mathrm{\infty },-\sqrt{e}),h(x)\downarrow$

$x\in (-\frac{1}{\sqrt{e}},0),h(x)\uparrow$

$x\to 0^{-},h(x)\to +\mathrm{\infty }$

因为 $a>1,lna>0$

所以 $0<lna<\frac{2}{\sqrt{e}}$

$e^0<a<e^{\frac{2}{\sqrt{e}}}$

$1<a<e^{\frac{2}{\sqrt{e}}}$

解（2）ii

由（i）知，

$-\frac{1}{\sqrt{e}}<x_1<0$

$\frac{1}{\sqrt{e}}<x_2<\sqrt{e}$

$\sqrt{e}<x_3$

所以 $x_1+2x_2>-\frac{1}{\sqrt{e}}+\frac{2}{\sqrt{e}}=\frac{1}{\sqrt{e}}$

要证 $x_1+3x_2+x_3>\frac{2e+1}{\sqrt{e}}$

即证 $x_1+2x_2+x_2+x_3>2\sqrt{e}+\frac{1}{\sqrt{e}}$

即证 $x_2+x_3>2\sqrt{e}$

$\{\begin{array}{l}lna\cdot x_2=1+2ln{x}_2\\ lna\cdot x_3=1+2ln{x}_3\end{array}$

下式减上式，得

$lna(x_3-x_2)=2ln\frac{x_3}{x_2}$

令 $\frac{x_3}{x_2}=t,t>1,x_3=t{x}_2$

$lna\cdot (t{x}_2-x_2)=2lnt$

$lna\cdot (t-1)x_2=2lnt$

$x_2=\frac{2lnt}{lna\cdot (t-1)}$

$x_3=\frac{2tlnt}{lna\cdot (t-1)}$

$x_2+x_3=\frac{2lnt\cdot (t+1)}{lna\cdot (t-1)}>\frac{2lnt\cdot (t+1)}{\frac{2}{\sqrt{e}}(t-1)}$

$=\frac{\sqrt{e}lnt\cdot (t+1)}{t-1}>2\sqrt{e}$

即证 $\frac{lnt\cdot (t+1)}{t-1}>2$

$lnt>\frac{2(t-1)}{t+1},t>1$

另 $\phi (t)=lnt-\frac{2(t-1)}{t+1}$

${\phi }^{\prime }(t)=\frac{1}{t}-2\frac{t+1-t+1}{(t+1{)}^2}$

$=\frac{1}{t}-\frac{4}{(t+1{)}^2}$

$=\frac{(t-1{)}^2}{t(t+1{)}^2}>0$

所以 $\phi (t)\uparrow ,\phi (t)>\phi (1)=0$

所以 $x_2+x_3>2\sqrt{e}$

证毕。

TIP

如果一个函数带有绝对值，要想想是否能通过求一半定义域的图像，然后通过奇偶性得出全部的图像。

TIP

已知零点个数，求参数范围问题，一般就两种办法：

1. 分参，这样对已知函数进行研究，比较简单
2. 带参讨论，（可能会比较麻烦）

TIP

证明极值点偏移，可以使用两种办法：

1. 用均值不等式、比值换元，将参数消掉；如果消不掉参数，那么就通过放缩将参数放掉，做法相对第 2 种更简单
2. 常规做法，移项，穿上函数外衣，利用函数单调性证明；但有时求导太过麻烦，或则根本就不出来。